Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Мусабаев Т.Т. 1 Каюпов Т. 1 Сейлханова Д.К. 1

---

1 Евразийский технологический институт ЕНУ им. Л.Н. Гумилева

В статье проанализированы аналитические и численные решения линейных и нелинейных одномерных задач теплопроводности для цилиндрических, сферических и пластинчатых неоднородных тел, включая присутствие химически разнородных материалов, разделяющих различные среды, с учетом полного комплекта граничных условий. Аналитическое решение этих задач сведено к формуле с коэффициентом-указателем типа тел. Рассмотрены известные решения по расчету железобетонных тел и коэффициенты из нормативной литературы. Научная новизна данной работы заключается в учете непрерывной неоднородности коэффициента теплопроводности и внутренних источников тепловыделений. Получены численные решения нестационарных задач теплопроводности. Сравнение численных и аналитических решений тестовых задач доказывает достоверность полученных результатов. Эти решения, при наличии соответствующих коэффициентов, справедливы и для решения задач химических реакций с выделением тепла, влагопереноса, диффузии, коррозии трещинообразования и других задач, описываемых уравнением теплопроводности.

Статья в формате PDF

4069 KB

аналитическое и численное решение

линейные и нелинейные одномерные задачи

неоднородное тело

уравнение теплопроводности

1. Бухмиров В.В. Теоретические основы теплотехники. Основы тепломассообмена. –  Иваново: ГОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», 2009. – 102 с.

2. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел: монография. – М.: Изд-во АСВ. 2002. – С. 288. URL: http://elib.pstu.ru/vufind/Record/RUPSTUbooks56965 (дата обращения: 15.01.2018).

3. Каюпов Т., Сейлханова Д. Решение одномерных задач теплопроводности неоднородных тел // Бетон и железобетон – взгляд в будущее: научные труды III Всероссийской (II Международной) конференции по бетону и железобетону, Москва, 12–16 мая 2014 года. – С. 166–179.

4. Калиткин Н.Н. Численные методы. 2-е изд., исправленное. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 592 с.

5. Кузнецов Г.В. Разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие / Г.В. Кузнецов, М.А. Шеремет. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 172 с.

6. Строительные нормы и правила: СНиП 2.03.04-84. Бетонные и железобетонные конструкции, предназначенные для работы в условиях воздействия повышенных и высоких температур. – М., 1984. – 180 с.

Расчет теплопроводности непрерывно неоднородных тел является новым направлением в физике твердых тел. В большинстве случаев подобные задачи решаются для слоистых тел классическими методами [1].

При решении одномерных задач для неоднородных тел в цилиндрических и сферических координатах уравнения методы решения и результаты во многом подобны [2]. При решении задачи теплопроводности неоднородных тел, эту закономерность можно распространить и на условно бесконечные пластины, разделяющих разные среды. В данной работе эти задачи объединены путем применения к их решению единого подхода.

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

(1)

где r – ось направленная перпендикулярно плоскости рассматриваемого тела; η – указатель системы координат: 0 – декартовая; 1 – цилиндрическая; η = 2 – сферическая; r – объемный вес, кг/м3; с – удельная теплоемкость, Дж/(кг °С); в данной работе в отличие от [3] q(r) зависит от интенсивности внутренних источников тепловыделений, от воздействия химических реакций, от внутреннего трения, от радиационного поля, от прохождения электрического тока и др.; λ_T(r) – коэффициент теплопроводности, Вт/(м °С). Для различных тел λ_T(r) может возрастать, так и уменьшаться при увеличении температуры. Твердые тела уменьшают коэффициент теплопроводности. Коэффициент теплопроводности газов также зависит и от давления [1].

Во многих случаях ограждающие конструкции бывают конструктивно неоднородными, слоистыми. Например, в жилых застройках часто встречаются пласты: декоративный, ограждающий, теплоизоляционный, облицовочный и т.д. В данной постановке коэффициент теплопроводности имеет непрерывную неоднородность.

Аналитические решения

Пусть , .

Рассматривается стационарная задача теплопроводности, т.е. . Тогда уравнение (1) приобретает вид

(2)

Интегрируя (1) по r, получим

; (3)

, (4)

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Граничные условия 1 рода.

Заданы законы размещения температуры на поверхности тела:

r = a, T = Ta; r = b, T = Tb; (5)

Подставляя в (3), получим

(6)

Коэффициенты С1 и С2 определяются из решений систем уравнений (6):

(7)

Граничные условия 2 рода.

Заданы законы распределения интенсивности теплового потока g на границах:

r = a, ; r = b, ; (8)

Подставляя в (4), получим

; . (9)

Граничные условия 3 рода.

Заданы законы конвективного теплообмена среды с поверхностью тела. Применяются в задачах при обтекании поверхности тела жидкостью или газом [1]:

; (10)

Здесь βа, βb – коэффициенты теплоотдачи внутренних и внешних поверхностей;

– температура окружающей среды вблизи внутренних и внешних поверхностей.

Знак минус ставится, когда направление внешней нормали, рассматриваемой поверхности и оси r не совпадают.

Преобразуем граничные условия (9) в виде

(11)

и подставляем в (11) решение (3) и (4), тогда решение уравнения (1) определяется из решения системы уравнений

(12)

При надобности, для описания различных сложных теплофизических процессов, можно составлять произвольные комбинации сумм граничных условий (5), (8) и (11). Из полученных систем уравнений определяются коэффициенты С1 и С2.

Граничные условия 4 рода.

Применяются в конструкциях, состоящих из различных слоев. В контакте любых двух слоев тел температура и интенсивность тепловых потоков равны:

, (13)

где w1 и w2 – условные обозначения контактируемых двух тел. В данной постановке граничные условия четвертого рода не рассматриваются из-за непрерывной неоднородности рассматриваемого тела.

Полученные решения (12) имеют особые случаи при: m = 1 – η, m = k + 2 и k + η = –1.

Рассмотрим m = 1 – η: η = 0, m = 1, η = 1, m = 0 и η = 2, m = –1.

При η = 0, m = 1 уравнение (2) имеет вид

(14)

Интеграл уравнения (14) для всех случаев m = 1 – η имеет вид:

;

, (15)

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

При k + η = –1 имеются следующие альтернативы:

η = 0, k = –1, m = 1, η = 1, k = –2, m = 0, η = 2, k = –3, m = –1.

Для всех случаев k + η = –1 уравнение (14) имеет вид

(16)

Интеграл уравнения (14) имеет вид

;

, (17)

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

Рассмотрим m = k + 2. Количество таких вариантов может быть большим. Но частные случаи, когда тело однородное при m = 0, k = –2 и k = 0, m = 2 соответствует случаю (16) и решению (17). При других значениях m и k соответствует случаю (14) и решению (15).

На рис. 1 представлена эпюра распределения температуры в сечений цилиндрического железобетонного радиaционно-теплового экрана АЭС. Экран устанавливается за корпусом реактора и предназначен для снижения радиационных и тепловых воздействий, генерирующихся при работе атомного реактора, на находящиеся за ним строительные конструкции биологической защиты. Задача решена при различных вариантах неоднородности железобетона и значений внутренних источников тепла, обусловленных воздействием потока нейтронов при k = 0, q0 = ± 1000 Bт/м3 и следующих исходных данных: a = 1 м, b = 2 м, Ta = –40 °С, Tb = 20 °С, ba = bb = 35 Вт/(м2 °С). Граничные условия 3 рода.

Для решения сформулированной краевой задачи (1) вариационно-разностным методом. Тогда эквивалентный функционал метода Ритца [4] имеет вид

(18)

Cистема алгебраических уравнений решена методом прогонки [5].

В табл. 1 показаны результаты численного и аналитического решений стационарной задачи при граничных условиях 3 рода в неоднородном теле (m = –1) при наличии внутренних источников тепловыделений при k = 0, q0 = 1000 Вт/м3 [2], a = 1 м, b = 2 м, Ta = –40 °С, Tb = 20 °С, βa = βb = 35 Вт/(м2 °С) [4].

Результаты численного расчета при разбиении толщины стенки на 10 интервалов практически совпадают с аналитическим решением (табл. 1). Для оценки зависимости коэффициента теплопроводности от температуры рассмотрена задача при a = 1 м, b = 2 м, Ta = –40 °С, Tb = 20 °С, βa = βb = 35 Вт м2 °С. Граничные условия 3 рода. Функция, аппроксимирующая график неоднородности жаростойкого бетона В30 [6] λ(T) = 3 – 0,007 T Вт/(м °С) [3].

Коэффициенты λ0 и m, используемые при аналитических решениях, определяются из граничных условий:

r = a,

r = b,

Откуда

При необходимости аналогично можно получить формулу для определения k:

Решение получено при разбиении толщины стенки на 10 интервалов.

На рис. 2 показаны эпюры стационарного температурного поля в бетонном неоднородном теле для 3 итерации (табл. 2). Например, решения для шара обозначены как «Шар», «Ш-1» и «Ш-2». Решения в последних шагах практически совпадают.

На рис. 3 изображены эпюры нестационарного теплового поля в бетонном неоднородном теле через час, день и месяц (31 дней). Бетон имеет следующие теплофизические параметры λT(T) = 3 – 0,007 T Вт/(м °С), ρ = 2500 кг/м3, с = 920 Дж/(кг °C) и связаны с внешней средой (βa = 35 Вт/(м2 °С), βb = 35 Вт/(м2 °С), Tb = 20 °С). В начальный момент времени температура во всем теле равна 20 °С, нестационарный процесс начинается, когда на внутренней части температура среды установлена Ta = –40 °С. Использованы граничные условия третьего рода.

Рис. 1. Распределение температуры в неоднородном теле с внутренним источником тепловыделений q0 = 1000Bт/м3 при различных вариантах неоднородности: m = 0 и m = ± 1

Библиографическая ссылка