Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

Алдашев С.А. 1 Бекбатшаев М.Ж. 1
1 Казахский Национальный педагогический университет им. Абая
В работе для линейных гиперболических уравнений второго порядка на плоскости показано корректность задачи с отходом от характеристики, которые встречаются в трансзвуковых проблем.
задача
гиперболическое уравнение
характеристика
коррекность
1. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. – М.: Наука, 1973. – С. 701.
2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – С. 164
3. Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. – Алматы: Гылым, 1994. – С. 170
4. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. – М.: Наука, 1977. – С. 448.
5. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. – М.: Высшая школа, 1995. – С. 301.

1. Постановка задачи и результат. Пусть aldas1.wmf конечная область, ограниченная отрезком aldas2.wmf оси aldas3.wmf, а при aldas4.wmf – отрезком

aldas5.wmf,

гладкой кривой aldas6.wmf вдоль которой

aldas7.wmf

и прямой aldas8.wmf.

В области D рассмотрим линейные гиперболические уравнения

aldas9.wmf, (1)

aldas10.wmf.

В качестве краевой задачи с отходом от характеристики рассмотрим следующую

Задача 1 Найти в области D решение уравнения (1) из класса aldas11.wmf удовлетворяющие краевым условиям

aldas12.wmf, (2)

или

aldas13.wmf, (3)

aldas14.wmf

которая встречается при исследовании трансзвуковых проблем [1].

В характеристических координатах aldas15.wmf, aldas16.wmf, уравнение (1) записывается следующим образом.

aldas17.wmf, (4)

aldas18.wmf.

При этом краевые условия (2) и (3) соответственно имеют вид

aldas19.wmf, aldas20.wmf, aldas21.wmf,

aldas22.wmf, (5)

aldas23.wmf, aldas24.wmf,

или

aldas25.wmf, aldas26.wmf, aldas27.wmf,

aldas28.wmf, aldas29.wmf, (6)

где

aldas30.wmf, aldas31.wmf,

а функция aldas32.wmf является решением уравнения aldas33.wmf, при этом

aldas34.wmf, aldas35.wmf, aldas36.wmf.

Пусть в случае задачи (4), (5) выполняется условие

aldas37.wmf, aldas38.wmf, (7)

aldas39.wmf

aldas40.wmf

а в случае задачи (4), (6) имеет место

aldas41.wmf, aldas42.wmf. (8)

Тогда справедлива теорема. Задача 1 однозначно разрешима.

2. Доказательство теоремы. Сначала рассмотрим задачи (1), (2), которое переходит к задаче (4), (5). Используя общее решение уравнения (4) [2] в [3] показано, что решение задачи Коши для уравнения (4) представимо в виде

aldas45.wmf

aldas46.wmf,(9)

где aldas47.wmf – функция Римана уравнения (4), aldas48.wmf.

Тогда, из (9), при h=0 и aldas49.wmf, с учетом (5), получим следующие интегральные уравнения первого рода.

aldas50.wmf, aldas51.wmf,

aldas53.wmf, aldas54.wmf,

aldas55.wmf

aldas56.wmf,

aldas57.wmf

aldas58.wmf,

которые дифференцированием сводятся соответственно к интегральному уравнению Вольтерра второго рода

aldas59.wmf, aldas60.wmf, (10)

aldas61.wmf, aldas62.wmf,

aldas63.wmf;

и функционально-интегральному уравнению

aldas64.wmf, aldas65.wmf, (11)

aldas66.wmf, aldas67.wmf,

aldas68.wmf.

В [4] показано, что если

aldas70.wmf, aldas71.wmf, (12)

то функциональное уравнение (11) имеет единственное решение вида

aldas72.wmf aldas73.wmf. (13)

Из определения функции Римана R [2, 5] формула (12) записывается в виде (7), а (13) в следующем виде

aldas75.wmf, (14)

aldas76.wmf,

aldas77.wmf

Известно, что функция Римана R по переменным ξ1, η1 и x, h имеет такую же гладкость, что и коэффициенты уравнения (4) [2, 5], поэтому ядро aldas79.wmf допускает оценку

aldas80.wmf. (15)

Решение интегрального уравнения (14) будем искать в виде ряда

aldas81.wmf, (16)

aldas82.wmf,

aldas83.wmf,

aldas84.wmf

Из (15) получим следующие оценки

aldas85.wmf,

aldas86.wmf

aldas87.wmf,

и вообще aldas88.wmf.

Тогда для ряда (16) будем иметь

aldas89.wmf.

Таким образом, интегральное уравнение (14), (а также (11)), при выполнений условия (7) однозначно разрешимо.

Следовательно, задача (4), (5) имеет единственное решение вида (9), в которой n(x) определяются из (10) и (14).

Теорема для задачи (1), (2) доказана.

Теперь рассмотрим задачу (1), (3) , которая переходит к задаче (4), (6). В этом случае из (9) при h=0 и aldas90.wmf, с учетом (6), получим следующие интегральное уравнение Вольтерра второго рода

aldas91.wmf, aldas92.wmf, (17)

aldas93.wmf aldas94.wmf

и функционально – интегральное уравнение вида

aldas95.wmf, aldas96.wmf, (18)

где

aldas97.wmf,

aldas98.wmf,

aldas99.wmf,

aldas100.wmf,

aldas101.wmf.

Если выполняется условие

aldas102.wmf,

или это то же самое условие (8), то функциональное уравнение (18) имеет единственное решение вида

aldas103.wmf, (19)

aldas104.wmf,

aldas105.wmf

при этом

aldas106.wmf, aldas107.wmf

Решение интегрального уравнения (19) будем искать в виде ряда aldas108.wmf для которого имеет место неравенство aldas109.wmf.

Таким образом, интегральное уравнение (19) (а также (18)), при выполнении условия (8) однозначно разрешима.

Следовательно, задача (4), (6) имеет единственное решение вида (9), в которой t(x) определяются из (17) и (19).

Отметим, что если aldas110.wmf, то условие (8) невыполнимо. В этом случае уравнение (18) имеет вид

aldas111.wmf, aldas112.wmf, (20)

aldas113.wmf.

Так как интегральный оператор, стоящий в правой части равенства (20) вполне непрерывен, то как показано в [4] функциональное уравнение (20) имеет единственное решение.

Таким образом и в этом случае задача (4), (6) однозначно разрешима .

Теорема для задачи (1), (2) доказана.


Библиографическая ссылка

Алдашев С.А., Бекбатшаев М.Ж. КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2013. – № 12. – С. 47-51;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=4497 (дата обращения: 28.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674