Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ЛЭМБА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ В ВИДЕ ФУНКЦИИ ХЕВИСАЙДА

Мусаев В.К. 1
1 МЭСИ
Приводится информация о численном моделировании продольных, поперечных и поверхностных волн на свободной поверхности упругой полуплоскости. Приводится изменение упругого контурного напряжения на свободной поверхности полуплоскости. Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Применяется однородный алгоритм. С помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши. Приводится некоторая информация о численном моделировании упругих волн напряжений в упругой полуплоскости при сосредоточенном вертикальном воздействии в виде функции Хевисайда. Показано изменение упругого контурного напряжения на свободной поверхности полуплоскости.
нестационарные волны
численный метод
перемещение
скорость перемещений
ускорение
напряжение
теория упругости
краевая задача
задача с начальными условиями
задача Коши
методика
алгоритм
однородный алгоритм
комплекс программ
продольная волна
поперечная волна
коническая волна
волна Релея
поверхностная волна
задача Лэмба
сосредоточенное вертикальное воздействие
функция в виде Хевисайда
упругая полуплоскость
напряжения на свободной поверхности
1. Мусаев В.К. Численное решение волновых задач теории упругости и пластичности // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия прикладная математика и информатика. – 1997. – № 1. – С. 87–110.
2. Мусаев В.К. Математическое моделирование упругих волн напряжений в сложных деформируемых телах // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2007. – № 1. – С. 62–76.
3. Мусаев В.К. Об оценке достоверности и точности численного решения нестационарных динамических задач // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия проблемы комплексной безопасности. – 2007. – № 3. – С. 48–60.
4. Мусаев В.К. Оценка достоверности и точности результатов вычислительного эксперимента при решении задач нестационарной волновой теории упругости // Научный журнал проблем комплексной безопасности. – 2009. – № 1. – С. 55–80.
5. Мусаев В.К. Вычислительный эксперимент в задачах моделирования нестационарных волн напряжений в областях сложной формы // Исследования по теории сооружений. – 2010. – № 2. – С. 138–149.
6. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11. – С. 10–14.
7. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью метода конечных элементов в перемещениях // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 12 (1). – С. 28–32.
8. Мусаев В.К. Моделирование безопасности по несущей способности дымовых труб с основанием при взрыве атомной бомбы в Нагасаки // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 12. – С. 198–203.
9. Мусаев В.К. Математическое моделирование поверхностных волн напряжений в задаче Лэмба при воздействии в виде дельта функции // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 2 (часть 1). – С. 25–30.
10. Мусаев В.К. Численное моделирование вертикального сосредоточенного упругого импульсного воздействия в виде дельта функции на границе воздушной и твердой среды с полостью в виде прямоугольника (соотношение ширины к высоте один к пятнадцати) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015, № 2 (часть 2). – С. 220–223.

Метод решения двумерной плоской нестационарной динамической задачи теории упругости

В работах [1–10] приведена информация о применении вычислительной механики для моделирования волн напряжений в твердых деформируемых телах с помощью разработанного численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Динамическую задачу теории упругости решаем с помощью метода конечных элементов в перемещениях. Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.

Принимая во внимание определение матриц и векторов для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

mus01.wmf, mus02.wmf, mus03.wmf, (1)

где mus04.wmf – матрица инерции; mus05.wmf – матрица жесткости; mus06.wmf – вектор узловых упругих перемещений; mus07.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; mus08.wmf – вектор узловых упругих ускорений; mus09.wmf – вектор узловых упругих внешних сил.

Для интегрирования уравнения движения (1) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

mus10.wmf, mus11.wmf. (2)

Интегрируя по временной координате соотношение (2) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

mus12.wmf,

mus13.wmf. (3)

где ∆t – шаг по временной координате.

Система уравнений (1) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости, должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы.

Шаг по временной переменной ∆t определяем из следующего соотношения

mus14.wmf mus15.wmf, (4)

где ∆l – длина стороны конечного элемента.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы.

Некоторая информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [1, 3–6].

Решение задачи о сосредоточенном вертикальном упругом воздействии в виде функции Хевисайда

В упругой полуплоскости от сосредоточенного воздействия распространяются продольные, поперечные, рэлеевские и конические волны. Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной волны в виде функции Хевисайда (рис. 2) перпендикулярной свободной поверхности упругой полуплоскости (рис. 1). В точке B перпендикулярно свободной поверхности АВС приложено упругое нормальное напряжение σy (рис. 1), которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 – 0,1 МПа).

Граничные условия для контура CDEA при t > 0 mus17.wmf. Отраженные волны от контура CDEA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 500. Контур ABC свободен от нагрузок, кроме точки B, где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжение σy.

Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = ∆x = ∆y; ∆t = 1,393×10-6 с; E = 3,15×104 МПа; v = 0,2; ρ = 0,255×104 кг/м3; Ср = 3587 м/с; Сs = 2269 м/с. Решается система уравнений из 48032004 неизвестных. На рис. 3–8 показано изменение упругого контурного напряжения mus25.wmf (mus26.wmf) во времени n в точках A1–A6 (рис. 1), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости.

musaev1.tif

Рис. 1. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной волны в виде функции Хевисайда на свободной поверхности упругой полуплоскости

musaev2.tif

Рис. 2. Воздействие в виде функции Хевисайда

musaev3.tif

Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения mus19.wmf во времени t/∆t в точке A1

musaev4.tif

Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения mus20.wmf во времени t/∆t в точке A2

musaev5.tif

Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения mus21.wmf во времени t/∆t в точке A3

musaev6.tif

Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения mus22.wmf во времени t/∆t в точке A4

musaev7.tif

Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения mus23.wmf во времени t/∆t в точке A5

musaev8.tif

Рис. 8. Изменение упругого контурного напряжения mus24.wmf во времени t/∆t в точке A6

Выводы

Амплитуда поверхностных волн Релея существенно больше амплитуд продольных, поперечных и других волн при воздействии вертикального сосредоточенного воздействия в виде функции Хевисайда на поверхности упругой полуплоскости.


Библиографическая ссылка

Мусаев В.К. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ЛЭМБА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ В ВИДЕ ФУНКЦИИ ХЕВИСАЙДА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 5-1. – С. 38-41;
URL: http://www.applied-research.ru/ru/article/view?id=6753 (дата обращения: 07.03.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074