Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ ПАКЕТА MATHCAD

Тарбокова Т.В. 1
1 ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) «вручную» требует много времени, большого внимания, довольно громоздких преобразований и вычислений. Если допущена ошибка в решении СЛАУ, её бывает нелегко обнаружить. Целью применения пакета Mathcad в учебном процессе явилась потребность использования возможностей компьютеров для решения СЛАУ. Преимущества предлагаемого алгоритма заключаются в том, что решение СЛАУ осуществляется не формально, когда возвращается единственный вариант ответа. В процессе реализации алгоритма исследуются основные свойства СЛАУ: ранги основной и расширенной матриц системы, выбираются базисные неизвестные и свободные неизвестные, возвращаются общие решения при любом допустимом выборе базисных и свободных неизвестных. Заменяя столбцы основной матрицы СЛАУ столбцом свободных членов со свободными неизвестными, можно получать общее решение и методом Крамера, о чём в учебной литературе упоминаний нет.
Mathcad
системы линейных алгебраических уравнений
алгоритм
1. Кафедра высшей математики ТПУ. URL: http://portal.tpu.ru/departments/kafedra/vm/rabota/
2. Очков В.Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров: русская версия. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009. – 512 с.: ил.

Линейное алгебраическое уравнение можно определить как уравнение, в которое искомые неизвестные входят в первой степени и между собой не перемножаются, т.е. в левой части линейного уравнения обычно записывается линейная комбинация искомых неизвестных, а в правой – свободный член. Совокупность таких уравнений образует систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определённой. В случаях, когда решений бесконечное множество, СЛАУ называется неопределённой. Для решения определенных СЛАУ применяют методы Крамера, Гаусса, матричный, численные методы. Для неопределённой СЛАУ можно находить общее решение и какие-либо частные решения из их бесконечного множества.

В соответствии с ФГОС раздел «Линейная алгебра» модуля «Математика 1» входит в рабочие программы всех унифицированных образовательных математических кластеров дисциплины «Математика» [1]. В рабочие программы в обязательном порядке включаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по всем разделам, в том числе и по разделу «Линейная алгебра». Решение СЛАУ «вручную» требует много времени, большого внимания, довольно громоздких преобразований и вычислений. Если допущена ошибка в решении СЛАУ, её бывает нелегко обнаружить. Целью применения пакета Mathcad в учебном процессе явилась потребность использования возможностей компьютеров для решения СЛАУ.

Квадратные СЛАУ с невырожденной основной матрицей системы, а также матричные уравнения в среде пакета Mathcad легко решаются матричным методом. Например, чтобы решить СЛАУ

taro1.wmf

достаточно задать основную матрицу системы

taro2.wmf,

столбец свободных членов

taro3.wmf,

записав произведение обратной матрицы A–1 на матрицу В и воспользовавшись клавишей «=», получить решение:

taro5.wmf.

Проверка правильности решения также осуществляется в одно действие умножением матрицы А на найденную матрицу решения:

taro6.wmf.

Можно предварительно записать найденную матрицу

taro7.wmf.

решения СЛАУ, тогда для проверки потребуется ввести с клавиатуры произведение taro8.wmf и клавишу «=»:

taro9.wmf.

Начиная с шестой версии Mathcad, квадратные СЛАУ с невырожденной матрицей можно решать, используя встроенную функцию lsolve(A,B): X:= lsolve(A,B), и сразу получить решение

taro11.wmf.

Для решения неопределенных СЛАУ в среде пакета Mathcad имеется несколько возможностей. Версия Mathcad 13/14 (в предыдущих версиях Mathcad основная матрица СЛАУ должна быть квадратной) позволяет находить одно из бесконечного множества частных решений СЛАУ при помощи встроенной функции lsolve(A,B) [2]. Например, так:

taro12.wmflsolvetaro13.wmf,

если решается СЛАУ

taro14.wmf.

Замена знака равенства стрелкой из палитры символьных операций Symbolic возвращает частное решение в виде рациональных чисел:

taro15.wmflsolvetaro16.wmf.

Но общее решение, применяя встроенную функцию lsolve(A,B), найти не удается.

Получить общее решение СЛАУ можно директивой solve палитры символьных операций Symbolic. Для этого надо в левую метку директивы solve записать матрицу из одного столбца и таким количеством строк, сколько уравнений в СЛАУ, отделяя свободные члены равенствами из палитры Boolean или вводя знаки «=» с клавиатуры вместе с клавишей Ctrl (получается «жирный» знак равенства). В правой метке следует перечислить имена всех неизвестных СЛАУ. Например,

taro17.wmfsolve,t,u,v taro18.wmf.

Возвращается общее решение, в котором t, u – базисные неизвестные, v – свободная неизвестная. Частное решение, возвращаемое встроенной функцией lsolve(A,B), соответствует свободной неизвестной taro19.wmf.

Недостаток применения директивы solve заключается в том, что в рассматриваемом примере базисные неизвестные выбираются единственным образом, хотя в качестве базисных неизвестных можно выбрать любую другую пару неизвестных, т.к. в рассматриваемом примере все миноры второго порядка основной матрицы системы отличны от нуля.

Обойти проблему можно, применяя предлагаемый наиболее близкий к классическому исследованию и решению СЛАУ алгоритм.

Ввести основную матрицу СЛАУ, обозначив ее A, например. В задаче исследовать СЛАУ на совместность задать расширенную матрицу системы А1.

Ввести столбец свободных членов, обозначив его, например, В.

Найти ранг основной матрицы системы: rank(A). Для СЛАУ больших размеров найти rank(A1). Если rank(A)≠rank(A1), СЛАУ несовместна, т.е. решений не имеет, и на этом исследование и решение СЛАУ заканчивается.

Если rank(A) = rank(A1), выбрать отличный от нуля базисный минор F (порядок базисного минора равен рангу основной матрицы СЛАУ) и базисные неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор.

Оставшиеся свободные неизвестные перенести к свободным членам и ввести получившийся столбец С как функцию свободных неизвестных.

Получить общее решение, умножив обратную матрицу taro21.wmf на матрицу С.

Присвоив свободным неизвестным числовые значения, получить соответствующее частное решение.

Для проверки надо матрицу А умножить на матрицу-столбец В1 решения, составленного из свободных и базисных неизвестных или из значений неизвестных частного решения.

Применение алгоритма рассмотрим на предыдущем примере

taro22.wmf.

1. taro23.wmf

3. rank(A)=2

4. Выберем базисными неизвестными taro24.wmf и taro25.wmf. Тогда

taro26.wmf

Определитель матрицы F отличен от нуля: taro27.wmf.

5. Составим матицу С:

taro28.wmf.

6. Получим общее решение

taro29.wmf.

7. Пусть свободная неизвестная

taro30.wmf.

При этом значения базисных неизвестных taro31.wmf и taro32.wmf получатся умножением

taro33.wmf.

8. Составим столбец

taro34.wmf.

Тогда taro35.wmf,

или сделаем проверку для частного решения:

taro36.wmf

и получим taro37.wmf.

Преимущества предлагаемого алгоритма заключаются в том, что решение СЛАУ осуществляется не формально, когда возвращается единственный вариант ответа. В процессе реализации алгоритма исследуются основные свойства СЛАУ: ранги основной и расширенной матриц системы, выбираются базисные неизвестные и свободные неизвестные, возвращаются общие решения при любом допустимом наборе базисных и свободных неизвестных. Заменяя столбцы основной матрицы СЛАУ столбцом свободных членов со свободными неизвестными, можно получать общее решение и методом Крамера, о чём в учебной литературе упоминаний нет. Вот как это можно осуществить для СЛАУ

taro38.wmf,

решенной выше матричным методом:

taro39.wmf;

taro40.wmf.

Таким образом, методом Крамера получено общее решение taro41.wmf.


Библиографическая ссылка

Тарбокова Т.В. РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ ПАКЕТА MATHCAD // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 6-2. – С. 362-365;
URL: http://www.applied-research.ru/ru/article/view?id=6907 (дата обращения: 19.04.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074