Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

ВИХРЕВЫЕ ПОЛЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ

Неволин В.К. 1
1 НИУ «МИЭТ»
Методами традиционной квантовой механики в представлении плотности вероятности показано, что возможно существование вихревых (торсионных) полей плотности вероятности. Рассмотрены случаи вихревых полей плотности вероятности для низкочастотных фононов, фотонов и «холодных» нейтрино. В случае фотонов проявление вихревых полей можно наблюдать в виде аксиконов. Континуум невзаимодействующих «холодных» нейтрино может создавать макроскопические вихревые поля плотности вероятности.
вихревые поля плотности вероятности
низкочастотные фононы
фотоны
«холодные» нейтрино
1. Ghosh S.K., Deb B.M. Densities, Density-Functional and Electron Fluids // Physics Reports (Review Section of Physics Letters). – 1982. V. 92, N1. – P. 1-44.
2. Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения Шредингера // Доклады Академии наук – 1982. Т.262. – С.1100-1102.
3. Кузелев М.В. Рухадзе А.А. О квантовом описании линейных кинетических свойств бесстолкновительной плазмы. УФН, 1999,т.169, №6. С.687-689.
4. Кузелев М.В.. Рухадзе А.А. Нерелятивисткая квантовая теория вынужденных черенковского излучения и комптоновского рассеяния в плазме // ФНТ,. – 2011. – Т.37, №9/10. – С.1-7.
5. Микаэлян М.А. Гидродинамическая формулировка уравнений Паули. Прикладная физика. – 2003. – №3. – С.5-9
6. Неволин В.К. Квантовый транспорт в устройствах электроники. – М.: Техносфера, 2012. – 87 с.
7. Волостников В.Г. Спиральные пучки света. http:/www.fian.smr.ru/beam1.htm.
8. 8. Скиданов Р.В., Ганчевская С.В. Формирование пучков Бесселя вихревыми аксиконами. Компьютерная оптика. – 2014.; Т.38. – №3. – С.463-468.
9. Неволин В.К. Патент РФ. Способ измерения энергии квантовой нелокальности частиц, совершающих инфинитное движение. №2444711 с приоритетом от 30.01.2009 г. Бюл.№7, 2012.
10. Лобашов В.М. Измерение массы нейтрино в бета-распаде трития. Вестник РАН. 2003. – №73(1). – С.14-27.

Наша задача – показать, что при вращательном движении квантовой частицы возможно существование и распространение вихревых (торсионных) волн плотности вероятности. Это можно доказать, решая нерелятивисткое уравнение Шредингера в представлении плотности вероятности.

Обычно используется гидродинамическое представление уравнения Шредингера в виде [1-4]:

nevol1.wmf. (1)

nevol2.wmf (2)

где nevol3.wmf – макроскопическая скорость частицы, nevol4.wmf – плотность вероятности, m – масса частицы, nevol5.wmf – постоянная Планка, U* – потенциальная энергия, в которую по необходимости включают электромагнитные составляющие. Возможен учет и спиновых взаимодействий [5]. Эти уравнения неоднократно получались, начиная с Е. Маделунга и Д. Бома [1], путем представления волновых функций в квазиклассическом виде.

Уравнение для плотности вероятности из уравнения Шредингера можно получить и другим путем, если положить [6]:

nevol6.wmf;

nevol7.wmf.

Тогда имеем, как и прежде, закон сохранения плотности вероятности (1) и уравнение движения в виде:

nevol8.wmf. (3)

Это уравнение отличается от уравнения (20). Если положить, что всегда имеет место безвихревое движение поля плотности вероятности, т.е.

nevol9.wmf,

то из уравнения (3) получается уравнение (2).

Таким образом, в гидродинамическом представлении с помощью уравнений (1) и вида (2) отсутствует возможность описания вихревых движений поля плотности вероятности квантовых частиц. Систему уравнений (1), (3) будем называть в отличие от гидродинамического представления представлением плотности вероятности (ранее мы называли его квазигидродинамическим представлением [6]).

Постановка задачи, решение уравнений

Пусть квантовая частица совершает вращательное движение с угловой скоростью nevol10.wmf и радиусом R. Используем цилиндрическую систему координат, тогда орбитальная составляющая скорости nevol11.wmf и пусть частица двигается вдоль оси z с макроскопической скоростью nevol12.wmf.

Тогда уравнение (1) запишется в виде:

nevol13.wmf. (4)

Решение этого уравнения представим таким образом:

nevol14.wmf

nevol15.wmf. (5)

Первый интеграл уравнения (3), учитывая постоянство скоростей nevol16.wmf и nevol17.wmf, запишется в виде:

nevol18.wmf. (6)

Обозначим:

nevol19.wmf. (7)

Это можно сделать в силу того, что полная энергия квантовой частицы состоит из макроскопической и квантовой составляющей энергий [6]. Аддитивность составляющих полной энергии можно видеть и в правой части уравнений (3) и (6).

Уравнения (6) с учетом (7) и (5) будем иметь вид:

nevol20.wmf (8)

Нам необходимо найти волновое решение этого уравнения. Будем решать его методом последовательных приближений. Положим, что nevol21.wmf во всех коэффициентах, входящих в уравнение. Тогда получится уравнение:

nevol22.wmf. (9)

Решение этого уравнения найдено в [6] и имеет вид:

nevol23.wmf (10)

Это решение справедливо при любом значении nevol24.wmf, в том числе и ϕ. Подставляя решение (10) в (8), получаем алгебраическое трансцендентное уравнение:

nevol26.wmf (11)

Формулы (10) и (11) описывают решения дифференциальных уравнений (4) и (8).

Обсуждение результатов

Перепишем решение (10) в другом виде:

nevol27.wmf. (12)

Здесь nevol28.wmf – частота осцилляций волны плотности вероятности. Имеем линейный закон дисперсии:

nevol29.wmf. (13)

Вектор макроскопической скорости и волновой вектор не совпадают по направлению. Частота осцилляций волны является суммой осцилляций орбитального и поступательного движений. Решение (12) должно удовлетворять условию периодичности в любой момент времени и в любой точке z. Тогда

nevol30.wmf, nevol31.wmf (14)

Орбитальный радиус поля плотности вероятности квантуется с равноудаленными расстояниями между окружностями:

nevol32.wmf nevol33.wmf. (15)

С учетом (15) уравнение (11) запишется в виде:

nevol34.wmf. (16)

Уравнение (16) обеспечивает синхронизацию угловой переменной с текущим временем в каждой точке на оси z. Найдем из уравнения (16) угловую скорость вращения поля плотности вероятности j.

nevol35.wmf (17)

Орбитальная скорость вращения поля плотности вероятности равна:

nevol36.wmf. (18)

Можно видеть, что орбитальная скорость вращения поля вероятности в любой точке осциллирует в пределах от nevol37.wmf до nevol38.wmf.

Квантовое уравнение в виде (8) не зависит от массы частицы. Стало быть, это уравнение может описывать и движение безмассовых квантовых частиц, имеющих линейный закон дисперсии, в частности, длинноволновых фононов, фотонов и др. частиц. Благо, что в нерелятивистких уравнениях не имеют значения величины скорости для безмассовых частиц. В частности, в [6] было показано, что плотность вероятности и плотность потока вероятности с точностью до обозначений описывают плотность электромагнитной энергии для плоских электромагнитных волн в вакууме и вектор Умова – Пойтинга. В этом можно убедиться, используя формулы (12) и (13). Нужно положить nevol39.wmf и j равными нулю и nevol40.wmf, где c – скорость света. Для квантовомеханического описания движения безмассовых частиц (или частиц с исчезающее малой массой покоя) используются квантовый импульс и макроскопическая скорость. Однако континуум таких невзаимодействующих частиц, например, фотонов, описывает различные электромагнитные волны в зависимости от величины волнового вектора или длины волны.

Использование скорости света для безмассовызх частиц в нерелятивисткой квантовой механике не приводит к противоречиям. Скорость света присутствует и в классических уравнениях Максвелла, определяя скорость распространения электромагнитных волн в вакууме. Можно предположить, что уравнение (8) может описывать квантовые свойства пучков света, в частности, аксиконов [7,8], поскольку излучение в виде концентрических окружностей (15) во фронтальной плоскости напоминает обыкновенные аксиконы.

Для вихревого движения плотности поля вероятности частиц с массой покоя отличной от нуля необходимо выполнение условий:

nevol41.wmf,

где с – скорость света. Составляющие волнового вектора можно определять следующим образом:

nevol42.wmf, nevol43.wmf, (19)

где nevol44.wmf, nevol45.wmf – квантовые составляющие энергии орбитального и поступательного движения. Эти энергии отличаются от полных энергий согласно [6] и могут быть измерены отдельным способом [9]. Для оценок воспользуемся тем обстоятельством, что в традиционной квантовой механике полная энергия свободных квантовых частиц отождествляется с её квантовой величиной, что завышает значения волновых векторов. Положим:

nevol46.wmf; nevol47.wmf. (20)

Например, если иметь дело с «холодными» нейтрино, масса покоя которых оценивается как 10-33г [10], то величина nevol48.wmf, где nevol49.wmf – длина волны, при скоростях частиц nevol50.wmf см/c nevol51.wmf см. Эта оценка показывает, что континуум невзаимодействующих «холодных» нейтрино может создавать, в том числе, макроскопические вихревые (торсионные) поля плотности вероятности.

Заключение

Система квантовых уравнений движения с физическими переменными (1), (3), на наш взгляд, более адекватно отражает исходное уравнение Шредингера, чем система уравнений (1), (2), поскольку позволяет описывать вихревые поля плотности вероятности квантовых частиц. В нерелятивистском приближении для частиц с линейным законом дисперсии таких как: низкочастотные фононы, фотоны, «холодные» нейтрино возможны вихревые (торсионные) поля плотности вероятности. Существование вихревых полей оптических фотонов в виде аксиконов это реальность [7,8].


Библиографическая ссылка

Неволин В.К. ВИХРЕВЫЕ ПОЛЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 11-5. – С. 625-627;
URL: http://www.applied-research.ru/ru/article/view?id=7849 (дата обращения: 01.03.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074