Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

ПЕРВЫЙ КЛАСС ТОЧНО РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Гришкан Ю.С. 1 Усольцев О.А. 1
1 Южный федеральный университет
Показано, что можно построить точные решения уравнения Шрёдингера, обладающие определённым типом конформной симметрии. Эти решения удобно находить, как решения присоединённого к уравнению Шрёдингера уравнения Риккати. Выделен класс I точных решений. Найдены точные решения некоторых потенциалов, входящих в этот класс, в частности, для потенциала линейного гармонического осциллятора с нелинейным членом 4-го порядка и для потенциала Леннарда – Джонса.
групповые методы
классы точных решений
уравнение шрёдингера
1. Infeld L., Hall T.E. The factorization method // Reviews of modern Physics – Vol. 23, № 1. – P. 21–69.
2. Флюгге З. Задачи по квантовой механике. – M.: Мир, 1974. – С. 1–338.

Поиск точных решений стационарного уравнения Шрёдингера является пограничной областью между физикой и математикой. Как правило, физикам известен очень ограниченный набор таких решений. Однако, такие решения могут быть найдены для многих систем электромагнитного и сильного взаимодействий, таких как молекулы, атомы и кварконии. Для поиска этих решений выделим несколько классов потенциалов, обладающих конформной симметрией, и найдём решения для этих классов. Затем, приспособим найденные решения к конкретным 2-х и 3-х параметрическим потенциалам квантовых систем, хорошо известных в физике электромагнитного и сильного взаимодействий.

Как известно [1], уравнение Шрёдингера в координатном представлении

grishkan01.wmf (1)

после введения цепочки лестничных пары лестничных операторов

grishkan02.wmf grishkan03.wmf

сводится к нелинейному операторному уравнению Риккати для операторной функции fn = fn(x) в координатном представлении:

grishkan04.wmf (2)

Цепочка операторов {En} образует спектр оператора гамильтона grishkan05.wmf.

Для простоты, не будем писать шляп над операторами.

Цепочка операторов {Hn} факторизуется

grishkan06.wmf

Для нахождения спектра En рассмотрим одномерное движение fn = fn(q) и построим I класс точно решаемых задач для потенциалов

grishkan07.wmf (3)

где m – произвольное действительное число; Q = Q(x) – некоторая функциональная форма, которую необходимо задать.

Будем искать точное решение уравнения (2) в виде

grishkan08.wmf

grishkan09.wmf (4)

где αn, βn – цепочки функций, подлежащих определению; a, b, c – известные константы.

Поставленная задача требует нахождения цепочек αn, βn, En, в виде функций констант A0, B0, U0, a, b, c.

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях Q в уравнениях (3)–(4), получим следующие уравнения для неизвестных α0, β0, E0:

grishkan10.wmf

grishkan11.wmf (5)

grishkan12.wmf

Операторы цепочки находятся по рекуррентной формуле

grishkan13.wmf (6)

Построим первый оператор цепочки (2)

grishkan14.wmf

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях Q, построим систему уравнений для коэффициентов, подлежащих определению.

grishkan15.wmf

grishkan16.wmf (7)

grishkan17.wmf

где

grishkan18.wmf grishkan19.wmf

grishkan20.wmf

Для уравнений цепочки с индексом n получим

grishkan21.wmf

grishkan22.wmf (8)

grishkan23.wmf

Из (8) следуют тогда решения

grishkan24.wmf (9)

где

grishkan25.wmf

grishkan26.wmf (10)

grishkan27.wmf

Решение уравнения (9) даёт

grishkan28.wmf (11)

где знак sk = ±1, grishkan29.wmf устанавливается с учётом условий максимальности уровней энергии при факторизации.

Из (11) следует, что при k = 0

grishkan30.wmf (12)

grishkan31.wmf

Тогда

grishkan32.wmf

grishkan33.wmf (13)

то есть, grishkan34.wmf

Продолжая эту процедуру, получим

grishkan35.wmf grishkan36.wmf

grishkan37.wmf (14)

Продолжая эту процедуру по индукции, получаем

grishkan38.wmf (15)

grishkan39.wmf

Упорядоченный дискретный спектр En будет существовать только при sk = s.

Тогда из выражений (15) следует

grishkan40.wmf grishkan41.wmf (16)

grishkan42.wmf

grishkan43.wmf (17)

grishkan44.wmf

grishkan45.wmf (18)

I-1. Линейный гармонический осциллятор.

Пусть m = 1, U0 = B0 = 0, a = 0, b = 0, c = 1.

Потенциал линейного гармонического осциллятора имеет вид:

grishkan46.wmf (19)

Отсюда следует

grishkan47.wmf (20)

Из (19) видно что s = –1 и, следовательно,

grishkan48.wmf (21)

Подставляя в (20) grishkan49.wmf получаем стандартный спектр.

grishkan50.wmf (22)

I-2. Нелинейный осциллятор.

Рассмотрим потенциал

grishkan51.wmf (23)

m = 2, U0 = B0 ≠ 0;

a ≠ 0; b = 0; c = 1.

Полагая grishkan52.wmf, grishkan53.wmf, получаем из (18), (19) спектр нелинейного осциллятора, совпадающий с [2] с точностью до первого порядка теории возмущений (второй член в (22), a << 1).

grishkan54.wmf (24)

C более высокими порядками ТВ рассматриваемый спектр может совпасть при отличных от нуля коэффициентах A0, B0, U0, b = 0, a << 1.

I-3. Потенциал Леннарда – Джонса.

Молекулярный потенциал Леннарда – Джонса имеет вид:

grishkan55.wmf (25)

То есть, m = –6; A0 = 4ε0σ12; B0 = 4ε0σ6; U0 = 0; a, b, c ≠ 0.

grishkan56.wmf (26)

grishkan57.wmf


Библиографическая ссылка

Гришкан Ю.С., Усольцев О.А. ПЕРВЫЙ КЛАСС ТОЧНО РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 2-2. – С. 186-188;
URL: http://www.applied-research.ru/ru/article/view?id=8547 (дата обращения: 02.03.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074