Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

ОПТИМАЛЬНЫЙ СЦЕНАРИЙ РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ЭКОНОМИКИ

Грибов А.Ф. 1 Максимов Д.А. 1
1 ФГБОУ ВО «Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова»
Россию ждет затяжная стагнация, если не будет реформ, – так оценивают нынешнее состояние большинство специалистов. Минфин просчитал основные варианты развития российской экономики на период до 2030 г. Представляется целесообразным, наряду с консервативным, инерционным и инновационным вариантами развития, рассмотреть также и оптимальный. В статье, на основе теории оптимального управления, рассматривается оптимально-целевой сценарий развития, который позволит экономике выйти на темпы роста в 2-3 %. Ключевое условие для этого – структурные изменения в экономике – повышение отдачи на капитал за счет роста производительности труда, опережающего рост зарплат, и, как результат, увеличение доли инвестиций в ВВП. Предлагается экономико-математическое описание оптимального сценария российской экономики с прогнозом до 2030 г.
оптимальное управление
инвестиции
стагнация
темпы роста
сценарий развития
российская экономика
1. Бельченко С.В., Халиков М.А., Щепилов М.В. Управление трансакционными издержками интегрированной группы предприятий: методы и модели. – Тула: Гриф и К, 2011. – 171 с.
2. Закревская Е.А. Модели и методы оценки и управления стоимостью инновационно-ориентированного предприятия // автореферат на соис. уч. степ. к.э.н., РЭУ им. Г.В. Плеханова, 2012. – 23 с.
3. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 592 с.
4. Халиков М.А., Хечумова Э.А., Щепилов М.В. Модели и методы выбора и оценки эффективности рыночной и внутрифирменной стратегий предприятия. – М.: Коммерческие технологии, 2015. – 595 с.
5. Шевелевич К.В. Законы сравнительной статики для межотраслевого баланса с разложимой матрицей прямых затрат // Приоритетные научные исследования и разработки: сборник статей Международной научно-практической конференции, Саратов, 13 февраля 2016 г./ отв. ред. А.А. Сукиасян. – Уфа, 2016. – С. 130–131.

Россию ждет затяжная стагнация, если не будет реформ, – так оценивают нынешнее состояние большинство специалистов. Минфин просчитал основные варианты развития российской экономики на период до 2030 г. Представляется целесообразным, наряду с консервативным, инерционным и инновационным вариантами развития, рассмотреть также и оптимальный. В этой связи необходимо обратиться к теории оптимального управления. Под управлением понимается прямое воздействие на систему, направленное на достижение заданного результата. В этом отличие управления от регулирования, которое осуществляется на основе сравнения регулируемого (выходного) показателя с задающим (входным).

Под оптимальным управлением понимается выбор из многих возможных такого варианта управления, который по заданному критерию является оптимальным [4].

Поведение любой нелинейной многосвязной системы описывается следующими уравнениями движения [2]:

grib01.wmf i = 1,…,п, (1)

где у – вектор фазовых координат, задающий состояние системы; х – вектор внешних (входных) задающих и (или) возмущающих воздействий на систему; grib02.wmf – начальные значения фазовых переменных.

Если возмущающие воздействия пренебрежимо малы, некоторые из задающих воздействий становятся управляющими, а другие являются заданными известными функциями времени, то приходим к следующим уравнениям для управляемой динамической системы:

grib03.wmf i = 1,…,п, (2)

где и – вектор управляющих параметров, u∈U; U – область допустимых значений управляющих параметров.

Управляющая траектория (управление) u(t) называется допустимой, если она кусочно-непрерывна, в точках разрыва непрерывна слева:

grib04.wmf, и кроме того при любом t u(t)∈U.

Если задан закон управления, т. е. определена допустимая управляющая траектория u(t), то уравнения для фазовых переменных принимают вид:

grib05.wmf i = 1,…,n. (3)

тем самым при любых начальных условиях у(0) = y0 однозначно определяется решение.

В качестве критерия оптимальности выбирается некоторый функционал от фазовой и управляющей траекторий, который подлежит максимизации (минимизации). Необходимые условия для решения такой задачи дает принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума Понтрягина

Принцип максимума Понтрягина применяется к общей задаче управления, имеющей вид [3]:

grib06.wmf (4)

где grib07.wmf – вектор-столбец фазовых переменных, определяющих состояние динамической системы;

grib08.wmf – вектор-столбец правых частей уравнений системы;

y0, уT – начальное и конечное значения вектора состояния;

grib09.wmf – вектор-столбец управляющих параметров;

U – область возможных значений управляющих параметров;

f0 (y, u, t) – подынтегральная функция критерия управления.

Функции f (у, и, t), F (уT, Т) – непрерывны и дифференцируемы по каждому аргументу. Если определено уравнение u(t), то однозначно при заданном начальном условии у(0) = y0 определена траектория системы y(t). Траекторию системы, соответствующую оптимальному управлению u*(t), назовем оптимальной и обозначим y*(t).

Как известно, задача нелинейного программирования сводится к поиску седловой точки функции Лагранжа [1]. Именно этот подход применяется и для решения задачи (4). Роль переменных выполняют управляющие переменные и, ограничениями служат дифференциальные уравнения для фазовых переменных

grib10.wmf, (5)

а роль функции цели выполняет функционал

grib11.wmf. (6)

Построим функцию Лагранжа для этой задачи:

grib12.wmf

grib13.wmf (7)

где grib14.wmf – вектор-строка множителей Лагранжа, которые в этой ситуации называются сопряженными переменными (по отношению к фазовым).

Подынтегральная функция в последнем интеграле выражения (7) – это матричная форма записи скалярного произведения вектора-строки ψ(t) на вектор-столбец grib15.wmf:

grib16a.wmf

grib16b.wmf

Седловая точка (точнее, траектория) u*(t), у*(t) определяется как решение неравенства

grib17a.wmf

grib17b.wmf (8)

Если u*(t), grib18.wmf – седловая точка, то u*(t) – оптимальное управление, т.е. решение задачи (8).

В самом деле, правое неравенство (8)

grib19.wmf, (9)

тем самым на оптимальной траектории выполнены уравнения системы

grib20.wmf

(если бы в некоторых точках уравнения системы не выполнялись, то подбором функций можно было бы сделать неравенство (9) строго большим нуля, т.е. придем к противоречию). Рассмотрим левое неравенство (8), из него следует:

grib21.wmf

grib22.wmf

поэтому для всех управлений u(t), для которых выполняются уравнения системы (5),

grib23.wmf.

т.е. действительно u*(t) – оптимальное решение (управление) задачи (4). При этом максимальное значение критериального функционала задачи (4) равно значению функции Лагранжа в седловой точке.

Необходимые условия оптимальности (принцип максимума)

Итак, если u*(t), ψ*(t) – седловая точка, то u*(t) – оптимальное решение задачи (4). Поэтому необходимые условия существования седловой точки являются одновременно и необходимыми условиями максимума задачи (4).

Если сопряженные переменные получили бесконечно малые приращения ∆y, то согласно выражению (7) функция Лагранжа получила бесконечно малое приращение:

grib24.wmf

Поскольку u*(t), ψ*(0 – седловая точка, то, согласно правому неравенству (8), в этой точке функционал L(u*, ψ) достигает минимума по ψ, поэтому для любого бесконечно малого приращения ∆ψ в окрестности этой точки ∆L = 0, и тем самым

grib25.wmf

т.е. для управления u*(t) и соответствующей ему фазовой траектории y*(t) выполняются уравнения системы.

Остальные необходимые условия оптимальности следуют из левого неравенства для седловой точки.

Прежде всего путем интегрирования по частям функция Лагранжа преобразуется к виду

grib26.wmf

grib27.wmf

Первые два слагаемых под знаком интеграла называются функцией Гамильтона:

grib28.wmf, (10)

поэтому функция Лагранжа преобразуется к виду

grib29.wmf

grib30.wmf. (11)

Если управление u(t) получило приращение ∆u(t), то фазовая траектория изменилась с у(t) на y(t) + ∆y(t), а функция Лагранжа получила приращение:

grib31a.wmf

grib31b.wmf, (12)

grib32.wmf, grib33.wmf

Поскольку для существования максимума необходимо ∆L = 0 при любых ∆и, то, приравняв нулю (12), получаем необходимые условия максимума:

grib34.wmf (13)

grib35.wmf (14)

grib36.wmf (15)

Условия (13) – это условия существования локального максимума функции Гамильтона без учета ограничений на управляющие параметры. Если такие ограничения есть, то условия (13) заменяются следующими:

grib37.wmf. (16)

Согласно условию оптимальности (16) функция Гамильтона в любой момент t либо должна принимать свой внутренний (локальный) максимум, и тогда должно выполняться условие grib38.wmf, либо максимум достигается на границе, тогда grib39.wmf, где n – направление нормали к границе.

Из выражения для функции Гамильтона (10) видно, что grib40.wmf, но grib41.wmf поэтому grib42.wmf.

Таким образом, процедура применения принципа максимума задаче (4) состоит в следующем.

Сначала вводятся п сопряженных переменных затем строится функция Гамильтона: grib43.wmf после чего определяются функции u(t), grib44.wmf, y(t), удовлетворяющие условиям:

grib45.wmf

grib46.wmf,

grib47.wmf,

grib48.wmf, j = 1,…,n,

grib49.wmf,

grib50.wmf

Если кроме уравнений движения есть и другие ограничения, то они обычным образом включаются в функцию Лагранжа, а, следовательно, и в функцию Гамильтона [5].

Принцип максимума дает лишь необходимые условия оптимальности. Действительно, оптимальная траектория состоит из некоторых участков управляющих траекторий, определенных по этому принципу.

Выводы

Если ничего не делать, в том числе со структурой бюджета, то сценарий долгосрочной стагнации может реализоваться. Но расчеты показывают, что наиболее вероятным является другой, оптимально-целевой сценарий развития, который позволит экономике выйти на темпы роста в 2-3 %. Ключевое условие для этого – структурные изменения в экономике – повышение отдачи на капитал за счет роста производительности труда, опережающего рост зарплат, и, как результат, увеличение доли инвестиций в ВВП. Такой подход требует повышения гибкости рынка труда, мобильности работников, вложений в их переобучение. В этом случае экономика сможет преодолеть экономический спад уже в 2018 г., увеличиваясь к 2030 г. на 44 %.


Библиографическая ссылка

Грибов А.Ф., Максимов Д.А. ОПТИМАЛЬНЫЙ СЦЕНАРИЙ РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ЭКОНОМИКИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 6-1. – С. 109-112;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=9562 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674