Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,618

СИНЕРГЕТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ

Добрынина Н.Ф.
Получение высшего образования происхо­дит в студенческой группе. Успеваемость в груп­пе зависит от влияния одной подгруппы на дру­гую. Будем рассматривать процесс обучения в от­дельно взятой студенческой группе как процесс, происходящий в саморегулируемой системе.

Рассмотрим отдельную академическую группу студентов, которую разделим на три под­группы по успеваемости: отлично, хорошо и удовлетворительно. Ясно, что подгруппы вли­яют друг на друга, наблюдается прирост одной группы за счет другой, причем прирост и умень­шение могут быть оценены численно.

Математический подход опирается на из­учение решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений В. Вольтерра [1], которые нужно исследовать количественно и ка­чественно.

Обучаясь какому-то предмету, студенты одной подгруппы влияют на успеваемость другой подгруппы, оказывая помощь друг другу в изу­чении учебного материала. Этот процесс можно условно назвать «борьбой за существование».

Количественный характер этого явления проявляется в заданной сфере в виде изменений численности студентов, составляющих разные подгруппы. При одних условиях эти изменения состоят из флуктуаций вокруг средних значе­ний, при других условиях сводятся к исчезнове­нию или прогрессирующему увеличению дру­гих подгрупп. В статье производится теорети­ческое изменение численности студентов в под­группах; из этого математическими средствами выводятся возможные следствия.

Исследования относятся к целочислен­ным переменным, но мы будем пользоваться не дискретной математикой и теорией вероятно­сти, исчислением бескнечно малых, математи­ческим анализом и теорией дифференциальных уравнений.

Для того, чтобы охарактеризовать неко­торую подгруппу, сделаем допущение, что сту­денты каждой подгруппы однородны по успева­емости. Будем также считать, что тип студента меняется со временем непрерывно. Тогда вме­сто разрывных целочисленных функций, пред­ставляющих численность студентов в подгруп­пе, можно описать непрерывной дифференци­

руемой функцией. В каждый момент времени функция будет иметь ту же целую часть, что и разрывная функция.

Рассмотрим одну из подгрупп студенче­ской группы, которая обучается изолированно или обучается с другими подгруппами , не ока­зывая на них никакого влияния. Обозначим че­рез N количество студентов, обладающих опре­деленными знаниями и принадлежащих -ой подгруппе. Увеличение числа студентов за не­который малый интервал времени будет пропор­ционально этому количеству Ni . Принимая это свойство функции и рассматривая ее как непре­рывную, получаем

где εi. - постоянный коэффициент пропор­циональности, отражающий скорость изменения знаний внутри подгруппы, выраженный в изменении числа студентов в подгруппе dNi/dt  к общему числу студентов Ni . Назовем его коэффици­ентом прироста знаний в данной подгруппе. Из уравнения

 

получаем решение

Это решение определяет экспоненциаль­ный закон развития обучения, состоящий в том, что если время возрастает в арифметической прогрессии, то количество знаний возрастает в геометрической прогрессии. Если εi > 0, проис­ходит развитие студентов; если εi < 0 - студен­ты регрессируют и при εi = 0 наблюдается застой в образовании данной подгруппы. Коэффициент εi  легко найти из уравнения (3). Если обозначить период обучения за один семестр T, то

Прологарифмируем это выражение и вы­разим εi

Выражение lnNi - N0i. = ΔNi назовем логафмическим приростом знаний.

Если теперь предположить, что внешняя среда меняется медленно, то для короткого про­межутка времени можно считать

Кроме того, на коэффициент εi влияет ко­личество знаний других подгрупп и мы получа­ем дифференциальные уравнения вида:

Будем предполагать, что коэффициент прироста знаний зависит не только от Ni , но и от значений в предшествующий период, а имен­но знаний , полученных в школе и Вузе до рас­сматриваемого момента. В результате получит­ся система интегро-дифференциальных уравне­ний Вольтера.

Рассмотрим три подгруппы студентов, изучающих один предмет в пределах одной группы. Коэффициенты прироста знаний обо­значим ε1, ε2, ε3. Если учебный материал, кото­рый нужно изучить в течении семестра обозна­чить функцией F (N1, N2, N3) и взять его равным нулю в начальный момент времени, то в каче­стве прироста знаний можно взять выражения ε1 - F (N1, N2, N3) γ1 - положительные посто­янные, соответствующие потребности знаний в каждой из подгрупп. Получаем систему диффе­ренциальных уравнений, описывающую разви­тие обучения студентов в группе:


Встает математическая задача исследова­ния решений N1, N2, N3 этой системы при началь­ных знаниях и начальном распределении сту­дентов по подгруппам N01, N02, N03.

Можно показать, что для всякого конеч­ного интервала времени (t0, T) существует един­ственное решение из двух непрерывных функ­ций, заключенных между двумя положительны­ми числами, из которых большее не зависит от конца интервала T, т. е. N1, N2, N3 остаются огра­ниченными.

С одной стороны, предположим, что в интервале (t0, T) существуют три непрерывные функции N1, N2, N3 , удовлетворяющие начальным данным. Пусть N1´, N2´, N3´- числа Б, превосхо­дящие эти начальные данные и достаточно боль­шие для того, чтобы выполнялись неравенства:

Покажем, что N1, N2, N3, не превосхо­дят N´1, N´2, N´3. Действительно, если N1 пре­вышает N´1, то в некоторый момент времени θ функция N достигает значения N´, и тогда  откуда dN1/dt< 0, т. е. N1 переходит через N´1, убывая, и значит, N1 принимает значение большее, чем N´1 до момента θ, и т. к. N°1 < N´1, то N1 долж­на принять значение N´1 ( в силу непрерывно­сти) до момента θ, что противоречит гипотезе, принятой относительно θ.

Следовательно, N1, N2, N3 остаются меньшими, чем числа N´1, N´2, N´3, которые не зависят от конца T интервала (t0, T).

Для удобства дальнейших рассуждений перепишем систему (7) в виде

После интегрирования получим

Поскольку Ni ограничены числами Nt , то выражения в квадратных скобках ограниче­ны по абсолютной величине некоторым значе­нием A, не зависящим от t, поэтому в интервале (t0, T) получим

 

 

и, следовательно,                    .

Рассмотрим, что произойдет при неогра­ниченном увеличении времани. Исключая из системы (7´) функцию F (N1, N2, N3), полу­чим эквивалентную систему

Решение этой системы можно записать так:

Пренебрежем  случаем,  когда εiγk - εkγi = 0, то есть когда скорости усвое­ния знаний пропорциональны скоростям усвое­ния знаний во всех трех группах замкнутой си­стемы, что маловероятно и предположим, что

Тогда, согласно формуле (8), имеем

 

Известно, что N1 ограничено, поэтому N2 и N3 стремятся к нулю.   

Итак, подгрупп, у которой - имеет мень­шее значение со временем исчезает, ее студенты переходят в группу с более высокой успеваемо­стью. Чтобы подгруппа продолжала существо­вать, нужно, чтобы у нее сохранялся высокий коэффициент ε/γ

Cписок литературы

  1. В. Вольтерра. Математическая теория борьбы за существование. М.: Изд-во «Наука». 1976. 286 с.

Библиографическая ссылка

Добрынина Н.Ф. СИНЕРГЕТИКА В ВЫСШЕМ ОБРАЗОВАНИИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2010. – № 12. – С. 63-65;
URL: http://www.applied-research.ru/ru/article/view?id=991 (дата обращения: 18.06.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252