Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ (ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС) В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

Мусаев В.К. 1
1 Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II
Рассмотрена некоторая информация в области о моделирования плоских нестационарных упругих волн напряжений в упругой полуплоскости. Для решения поставленной задачи применяются уравнения вычислительной механики. Разработаны методика, алгоритм и комплекс программ Мусаева В.К. для решения линейных нестационарных динамических задач. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью динамического равновесия. Получена явная двухслойная схема. При решении сложных задач возникают проблемы оценки достоверности полученных результатов. В работе рассматривается оценка точности и достоверности результатов численного моделирования волн напряжений при распространении плоской нестационарной упругой волны в полуплоскости. В качестве воздействия применяется прямоугольный импульс. Решается система уравнений из 83448 неизвестных.
вычислительная механика
численный метод
алгоритм
комплекс программ Мусаева В.К.
нестационарные упругие волны
плоская продольная нестационарная волна
фундаментальное воздействие
распространение плоских волн
исследуемая расчетная область
прямоугольный импульс
условия на фронте плоской волны
математическая точность
физическая достоверность
точность численного метода
1. Мусаев В.К. О достоверности компьютерного моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах сложной формы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 11. – С. 10–14.
2. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью метода конечных элементов в перемещениях // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 12–1. – С. 28–32.
3. Мусаев В.К. Оценка точности и достоверности численного моделирования при решении задач об отражении и интерференции нестационарных упругих волн напряжений // Успехи современного естествознания. – 2015. – № 1–7. – С. 1184–1187.
4. Мусаев В.К. Численное решение задачи о распространении нестационарных упругих волн напряжений в подкрепленном круглом отверстии // Современные наукоемкие технологии. – 2015. – № 2. – С. 93–97.
5. Мусаев В.К. Решение задачи о распространении плоских продольных волн в виде импульсного воздействия // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 4–2. – С. 326–330.
6. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных стоячих упругих волн в бесконечной полосе при воздействии в виде треугольного импульса // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 11–2. – С. 248–251.
7. Мусаев В.К. Математическое моделирование нестационарного аварийного выброса нефти в сложной многофазной деформируемой среде // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3–1. – С. 28–32.
8. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных волн напряжений в бесконечной пластинке при вертикальном сосредоточенном упругом ударном воздействии // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3–1. – С. 33–37.
9. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных волн напряжений в задаче о воздействии воздушной ударной волны на консоль (соотношение ширины к высоте один к десяти) с упругой полуплоскостью // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3–1. – С. 38–42.
10. Мусаев В.К. Моделирование нестационарных упругих волн напряжений в защитном сооружении с основанием (полуплоскость) при воздействии ударной волны от лавины // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 3–1. – С. 43–46.

Постановки, численные методы, технология программных комплексов и анализ результатов решения нестационарных динамических задач с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ рассмотрены в следующих работах [1–10].

В работах [3–6] приведена информация о физической достоверности и математической точности рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.

Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

musaevF01.wmf, musaevF02.wmf, musaevF03.wmf, (1)

где musaevF04.wmf – диагональная матрица инерции; musaevF05.wmf – матрица жесткости; musaevF06.wmf – вектор узловых упругих перемещений; musaevF07.wmf – вектор узловых упругих скоростей перемещений; musaevF08.wmf – вектор узловых упругих ускорений; musaevF09.wmf – вектор внешних узловых упругих сил.

Соотношение (1) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши (1).

Интегрируя по временной координате соотношение (1) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

musaevF10.wmf,

musaevF11.wmf, (2)

где Δt – шаг по временной координате.

Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.

Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате Δt и по пространственным координатам, а именно

musaevF13.wmf musaevF14.wmf, (3)

где Δl – длина стороны конечного элемента.

Устойчивость явной двухслойной схемы исследуем с помощью численного эксперимента. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость явной двухслойной схемы.

На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при нестационарных волновых воздействиях на уникальные объекты. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.

Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений.

По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений. Предложен квазирегулярный подход к решению системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями и к аппроксимации исследуемой области. Методика основывается на схемах: точка, линия, плоскость.

Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 109 кг/м3.

musaev_ris1.tif

Рис. 1. Постановка задачи о распространении плоских продольных нестационарных упругих волн в полуплоскости

musaev_ris2.tif

Рис. 2. Воздействие в виде прямоугольного импульса

Приводится информация о численном моделировании нестационарных упругих плоских волн напряжений в упругой полуплоскости. Для решения поставленной задачи применяем метод конечных элементов в перемещениях.

Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной волны в виде прямоугольного импульса (рис. 2) на упругую полуплоскость (рис. 1). На границе полуплоскости AB приложено нормальное напряжение σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/Δt) изменяется от 0 до P, при 10 ≤ n ≤ 20 равно P и при 20 ≤ n ≤ 30 изменяется от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,1 МПа (– 1 кгс/см2)). Граничные условия для контура BCDA при t > 0 musaevF15.wmf. Отраженные волны от контура BCDA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 100. Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = Δx = Δy; Δt = 0,125×10-4 с; E = 22,366×101 МПа (22,366×102 кгс/см2); ν = 0,22; ρ = 1,469×103 кг/м3 (1,469×10-6 кгс с2/см4); Cp = 400 м/с; Cs = 250 м/с. Решается система уравнений из 83448 неизвестных.

На рис. 3–6 представлено изменение нормального напряжения musaevF17.wmf (musaevF18.wmf) во времени n в точках B1–B4: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение.

Предположим, что от некоторых точек упругой среды производится какое-то возмущение. Тогда из этих точек во все стороны начинают излучаться волны. На некотором расстоянии от центра возмущения рассматриваемые волны можно представить как плоские. Тогда все частицы движутся параллельно направлению распространения волны. На фронте плоской продольной волны имеется следующая аналитическая зависимость для плоского напряженного состояния musaevF23.wmf. Отсюда видим, что точное решение задачи соответствует воздействию σ0 (рис. 2).

musaev_ris3.tif

Рис. 3. Изменение упругого нормального напряжения musaevF19.wmf во времени t/Δt в точке B1: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

musaev_ris4.tif

Рис. 4. Изменение упругого нормального напряжения musaevF20.wmf во времени t/Δt в точке B2: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

musaev_ris5.tif

Рис. 5. Изменение упругого нормального напряжения musaevF21.wmf во времени t/Δt в точке B3: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

musaev_ris6.tif

Рис. 6. Изменение упругого нормального напряжения musaevF22.wmf во времени t/Δt в точке B4: 1 – численное решение; 2 – аналитическое решение

Для нормального напряжения σy имеется хорошее качественное и количественное совпадение с результатом аналитического решения. На основании проведенных исследований можно сделать вывод о физической достоверности результатов численного решения задач при распространении нестационарных упругих волн в деформируемых телах.

Сравнение результатов нормальных напряжений, полученных с помощью метода конечных элементов в перемещениях, при решении задачи о распространении плоских продольных нестационарных упругих волн в полуплоскости с результатами аналитического решения, показало хорошее совпадение.


Библиографическая ссылка

Мусаев В.К. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ (ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС) В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 11-2. – С. 236-239;
URL: https://www.applied-research.ru/ru/article/view?id=10471 (дата обращения: 22.06.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074