Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЁМКОСТЬЮ

Нахушева Ф.М. 1 Куважукова Р.Х. 1 Максидова З.Т. 1
1 ФГБОУ ВО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»
Работа посвящена рассмотрению уравнения влагопереноса с краевыми условиями третьего рода, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. Подобные условия возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью, при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоёмкость. Аналогичные условия возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда рассоление верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка. Известно, что уравнение Аллера и другие уравнения переноса влаги, основанные на диффузионной модели, предполагают бесконечную скорость распространения возмущения. Уравнение Лыкова учитывает его конечную скорость. Оно выведено из принципов необратимой термодинамики на основании анализа релаксационных процессов, а не исходя из молекулярных представлений капиллярности. Поэтому уравнение Лыкова характеризуется определённой общностью. Для рассматриваемой задачи получена априорная оценка в дифференциальной трактовке с помощью метода энергетических неравенств, из которой следует устойчивость решения задачи по входным данным. Построена соответствующая разностная схема второго порядка точности по пространственному и временному шагу.
уравнение влагопереноса
сосредоточенная теплоемкость
априорная оценка
разностная схема
1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 407 с.
2. Нахушева Ф.М., Водахова В.А., Кудаева Ф.Х., Абаева З.В. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоёмкостью // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2. – С. 763.
3. Нахушева Ф.М., Кудаева Ф.Х., Кайгермазов А.А., Кармоков М.М. Разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоёмкостью // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2–2. – С. 839.
4. Нахушева Ф.М. Об устойчивости разностных схем для уравнения влагопереноса Лыкова // Известия КБНЦ РАН, № 5(31). – 2009. – № 5(31). – С. 98–103.
5. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. 616 с.
6. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф.М., Лафишева М.М., Мамбетова М.М. // Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью. Владикавказский математический журнал. – 2013. – Т. 15(4). – С. 59–65.

Уравнение Лыкова учитывает, в отличие от уравнения Аллера, конечную скорость распространения возмущения. Оно выведено из принципов необратимой теплодинамики на основе анализа релаксационных процессов, а не исходя из молекулярных представлений капиллярности. В работе [4] для уравнения влагопереноса Лыкова с краевыми условиями первого рода получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Получены экономичные факторизованные схемы в многомерной области, устойчивость которых доказана с использованием общей теории устойчивости схем. В работе [6] проведено исследование локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью. В работе [3] выведена априорная оценка решения уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью, построена схема и получена соответствующая априорная оценка в равномерной метрике. В работе [2] был рассмотрен случай многомерной задачи для уравнения диффузии дробного порядка, когда на границе области по каждому направлению помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины.

Постановка задачи. Устойчивость

В области nah01.wmf рассматривается задача для уравнения влагопереноса с переменными коэффициентами с сосредоточенной теплоемкостью вида:

nah02.wmf (1)

nah03.wmf (2)

nah04.wmf (3)

Для коэффициентов требуем выполнения условий nah05.wmf, nah06.wmf, nah07.wmf, nah08.wmf, nah09.wmf, nah10.wmf, nah11.wmf, nah12.wmf. Здесь nah13.wmf – класс функций, непрерывных вместе со своими частными производными третьего порядка по x и первого порядка по t в nah16.wmf.

Доказательство устойчивости решения задачи (1)–(3) проводим с помощью метода энергетических неравенств [5]. Для чего умножаем уравнение (1) скалярно на nah17.wmf и приходим к энергетическому тождеству:

nah18.wmf (4)

где скалярное произведение nah19.wmf, норма nah20.wmf. Для первого и второго скалярных произведений в (4) имеем:

nah21.wmf, (5)

nah22.wmf (6)

Для третьего скалярного произведения в (4) применяем интегрирование по частям. Учитывая условия (2), будем иметь:

nah23.wmf

nah24.wmf

nah26.wmf

nah28.wmf. (7)

Используя равенство nah29.wmf, можем записать nah125.wmf. Тогда для интеграла в (7) будем иметь:

nah30.wmf.

Теперь (7) с учётом последнего можем переписать:

nah31.wmf

nah32.wmf

nah34.wmf

nah36.wmf. (8)

С учётом условий на k(x, t) и kt(x, t) для интегралов в правой части (8) запишем:

nah37.wmf, nah38.wmf. (9)

Для четвёртого интеграла в (4), учитывая условие на q(x, t), можем записать:

nah39.wmf. (10)

Для последнего скалярного произведения в тождестве (4) также запишем:

nah40.wmf. (11)

С учётом (5)–(11) и условий на nah41.wmf, используя лемму ([1], стр.152), из (4) будем иметь

nah42.wmf

nah43.wmf.

Учтём условия nah44.wmf, nah45.wmf и, пренебрегая положительными слагаемыми, отчего неравенство только усилится, последнее неравенство перепишем:

nah46.wmf

nah47.wmf. (12)

где m1, m2, m3, m4 – положительные постоянные величины.

Неравенство (12) проинтегрируем теперь по τ в пределах от 0 до и, учитывая начальные условия (3), имеем интегралы:

nah49.wmf,

nah50.wmf,

nah51.wmf,

nah52.wmf, nah53.wmf, nah54.wmf, nah55.wmf.

Учитывая вышеизложенное, перепишем неравенство (12):

nah56.wmf

nah57.wmf

или с учётом того, что nah59.wmf, перепишем неравенство

nah60.wmf

nah61.wmfnah62.wmf, (13)

где M1, M2 – положительные величины. Введем далее обозначение:

nah63.wmf.

Тогда неравенство (13), пренебрегая положительными слагаемыми nah64.wmf, nah65.wmf в левой части (отчего неравенство только усилится) перепишем в виде

nah67.wmf. (14)

Введем обозначение: nah68.wmf, тогда nah69.wmf. С учетом принятых обозначений неравенство (14) можем переписать:

nah70.wmf. (15)

Применяя известную лемму [1], из неравенства (15) запишем: nah71.wmf. С учётом последнего и вышесделанных обозначений имеем:

nah72.wmf.

Из (13), учитывая последнее, получаем неравенство

nah73.wmf

nah74.wmf.

Поскольку nah75.wmf, окончательно получим неравенство

nah76.wmf

nah77.wmf. (16)

Здесь положительная величина M(t) зависит от коэффициентов уравнения и размеров области QT. Из априорной оценки (16) заключаем устойчивость решения задачи (1)–(3) по входным данным.

Разностная схема

В nah78.wmf строим сетку nah79.wmf, где nah80.wmf, h – шаг сетки, N – число разбиений; nah82.wmf, h – шаг сетки, j0 – число разбиений. Через nah83.wmf обозначается значение сеточной функции y в узле (xi, tj), определенной на сетке nah84.wmf [5]. Дифференциальному уравнению (1) ставится в соответствие параметрическое разностное уравнение вида

nah85.wmf, (17)

σ1, σ2 – вещественные параметры, nah86.wmf, nah87.wmf, nah89.wmf, nah91.wmf, nah92.wmf, nah93.wmf, nah94.wmf, nah95.wmf. Разностное уравнение (17) аппроксимирует уравнение (1) с точностью nah96.wmf. Следуя [5], получим аппроксимацию краевых условий (2) с точностью nah97.wmf. Для ku' при x = 0 запишем:

nah98.wmf.

Тогда для краевого условия (2) при x = 0 имеем

nah99.wmf (18)

Здесь nah100.wmf, nah101.wmf, nah102.wmf. Также для – ku' в (2) при x = l запишем:

nah103.wmf.

Тогда аппроксимируется второе граничное условие (2) при x = l в виде

nah104.wmf (19)

Здесь nah105.wmf, nah106.wmf.

Первому начальному условию (3) ставим в соответствие разностное условие вида

nah107.wmf. (20)

Второе начальное условие в (3) выражением nah108.wmf аппроксимируется только с точностью O(τ). Получим аппроксимацию второго порядка по τ. Используя формулу Тейлора, с учётом nah109.wmf запишем:

nah110.wmf. (21)

Выразив nah111.wmf из уравнения (1) и учитывая, nah112.wmf и перенося nah113.wmf влево и разделив на τ, из (21) получим

nah114.wmf,

откуда

nah116.wmf. (22)

Итак, получена аппроксимация начального условия nah117.wmf с точностью O(τ2).

Таким образом, разностная схема, аппроксимирующая краевую задачу (1)–(3) с точностью nah118.wmf имеет вид

nah119.wmf (23)

nah120.wmf (24)

nah121.wmf (25)

nah123.wmf (26)

где nah124.wmf.

Для реализации на ЭВМ (23)–(26) приводится к системе уравнений с трёхдиагональной матрицей, которая решается методом прогонки на каждом временном слое.


Библиографическая ссылка

Нахушева Ф.М., Куважукова Р.Х., Максидова З.Т. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЁМКОСТЬЮ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2017. – № 7-1. – С. 48-53;
URL: https://www.applied-research.ru/ru/article/view?id=11689 (дата обращения: 26.01.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074