Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

СТАЦИОНАРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ САМОДВИЖУЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА

Сенницкий В.Л. 1, 2 Гребнева В.А. 1, 2
1 Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
2 Новосибирский государственный университет
Рассмотрена задача о стационарном обтекании не ограниченной извне вязкой жидкостью твердого бесконечно длинного цилиндрического тела. Граница тела проницаема для жидкости. Течение жидкости является плоским. Тело может совершать (или не совершать) самодвижение в жидкости, обусловленное протеканием (втеканием и вытеканием) жидкости через его границу. Постановка полной задачи включает в себя уравнения самодвижения тела (части тела конечной длины), уравнения Навье – Стокса и неразрывности и условия, которые должны выполняться на твердой границе жидкости и на бесконечности. Изучение задачи проведено для малых по сравнению с единицей значений числа Рейнольдса, в приближении Стокса. Установлено, что решение задачи о течении жидкости существует, характерный парадокс Стокса отсутствует тогда и только тогда, когда тело является самодвижущимся. Найдено решение задачи о стационарном обтекании вязкой жидкостью самодвижущегося цилиндрического тела в приближении Стокса. Осуществление телом самодвижения в жидкости соответствует тому, что, находясь в жидкости, тело перемещается, отталкиваясь от нее. Самодвижение в жидкости могут совершать живые организмы, технические устройства (рыбы, подводные аппараты). Исследованиями обтекания жидкостью самодвижущихся тел определяется актуальное направление в механике жидкости.
вязкая жидкость
стационарное плоское течение
самодвижущееся цилиндрическое тело
парадокс Стокса
1. Сенницкий В.Л. О самодвижении тела в жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1990. № 2. С. 111–118.
2. Деменков А.Г., Черных Г.Г. Численное моделирование вырождения закрученного турбулентного следа за самодвижущимся телом // Теплофизика и аэромеханика. 2016. Т. 23. № 5. С. 693–702.
3. Деменков А.Г., Черных Г.Г. Численное моделирование динамики закрученного безымпульсного турбулентного следа // Вычислительные технологии. 2018. Т. 23. № 5. С. 37–48.
4. Moshkin N.P., Suwannasri P. Self-propelled motion of a torus rotating about its centerline in a viscous incompressible liquid. Phys. Fluids. 2010. V. 22. P. 113602–1–113602–9.
5. Moshkin N.P., Suwannasri P. Two regimes of self-propelled motion of a torus rotating about its centerline in a viscous incompressible liquid at intermediate Reynolds numbers. Phys. Fluids. 2012. V. 24. P. 053603–1–053603–11.
6. Сенницкий В.Л. О течении жидкости вокруг самоходного тела // Прикладная механика и техническая физика. 1978. № 3. С. 76–83.

В работе [1] сформулирована концепция самодвижения тела в жидкости. Находящееся в жидкости тело совершает в ней самодвижение, если движение тела является следствием того, что тело отталкивается от жидкости. Самодвижение тела в жидкости происходит за счет взаимодействия между его границей и жидкостью (но не вследствие каких-либо воздействий на жидкость, которые могут осуществляться и в отсутствие в ней тела). Ввиду этого граница самодвижущегося тела является его движителем. Работа движителя при самодвижении соответствует тому, что на границе тела обеспечиваются условия, при которых выполняются уравнения самодвижения тела в жидкости.

Исследования, направленные на выявление закономерностей течения жидкости вокруг самодвижущихся тел, неизменно сохраняют актуальность. В работах [2, 3] выполнено моделирование течения жидкости в следе за телом; работы [4, 5] посвящены рассмотрению течения жидкости вокруг вращающегося тора. В основном интерес представляет движение вязкой жидкости. Задачи, касающиеся динамики вязкой жидкости, как правило, характеризуются повышенным уровнем сложности. Весомым дополнительным препятствием в их изучении является парадокс Стокса. Данный парадокс состоит в том, что решение задачи о плоском течении не ограниченной извне, покоящейся на бесконечности вязкой жидкости вокруг твердого цилиндрического тела, движущегося в ней с постоянной скоростью – равно как и решение эквивалентной задачи о стационарном обтекании твердого цилиндрического тела вязкой жидкостью – при малых значениях числа Рейнольдса, в приближении Стокса не существует.

Главной целью настоящей работы является установление связи между самодвижением твердого цилиндрического тела в вязкой жидкости и парадоксом Стокса.

В вязкой несжимаемой не ограниченной извне жидкости находится твердое тело Ξ – бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса A. Тело Ξ покоится относительно инерциальной прямоугольной системы координат X, Y, Z. Жидкость на бесконечности движется с постоянной скоростью V = {V, 0, 0} (V > 0). Граница тела Ξ – цилиндрическая поверхность ΓΞ: X2 + Y2 = A2 (– ∞ < Z < ∞) – проницаема для жидкости. Течение жидкости является стационарным, плоским и симметричным относительно плоскости Y = 0. Тело Ξ может совершать (или не совершать) самодвижение в жидкости, обусловленное протеканием (втеканием и вытеканием) жидкости через поверхность ΓΞ. Самодвижение тела Ξ относительно жидкости на бесконечности происходит со скоростью – V .

Пусть x = X/A; y = Y/A; z = Z/A; ex = {1, 0, 0}; ey = {0, 1, 0}; ez = {0, 0, 1}; r = xex + yey; r = |r|; er = r/r; θ – угол между векторами ex и er; eθ = ez×er; ξ – часть тела Ξ, «вписанная» между плоскостями Z = – H/2 и Z = H/2 (H > 0 – постоянная); h = H/A; Γξ – боковая поверхность тела ξ; V, ρ и ν – соответственно скорость, плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости; v = V/V = vrer + vθeθ; P – давление в жидкости; senick01.wmf; Re = AV/ν – число Рейнольдса; φ = φ(θ, Re) = senick02.wmfcos nθ (φn = φn(Re)); S – поток импульса жидкости через поверхность Γξ в тело ξ (импульс, передаваемый жидкостью телу ξ в единицу времени); T – поток момента импульса жидкости относительно начала координат X, Y, Z через поверхность Γξ в тело ξ (момент импульса, передаваемый жидкостью телу ξ в единицу времени, относительно начала координат X, Y, Z);

senick03.wmf; senick04.wmf;

senick05.wmf

senick06.wmf

Определим следующую – полную – задачу

s = 0; (1)

t = 0 (2)

– уравнения самодвижения тела Ξ (тела ξ ) в жидкости;

senick07.wmf (3)

∇•v = 0 (4)

– уравнения Навье – Стокса и неразрывности;

v = φer при r = 1; (5)

v → ex при r →  ∞ (6)

– условия на твердой границе жидкости и на бесконечности.

Согласно (1), (2) имеем

f + g = 0, (7)

где

senick08.wmf (8)

(F – сила, действующая со стороны жидкости на тело ξ в направлении оси X);

senick09.wmf

Тело Ξ является самодвижущимся (в жидкости) тогда и только тогда, когда выполняется уравнение (7).

Будем рассматривать задачу (3)–(7) при малых по сравнению с единицей значениях Re.

Предположим, что

senick10.wmf

senick11.wmf при Re > 0. (9)

Согласно (8), (9) имеем

senick12.wmf при Re > 0. (10)

Здесь

senick13.wmf (11)

Используя (3)–(7), (9), (10), получим

f' = 0 (12)

– уравнение самодвижения тела Ξ (тела ξ ) в жидкости в приближении Стокса;

Δv' = ∇p'; (13)

∇•v' = 0; (14)

v' = φ'er при r = 1; (15)

v' → ex при r →  ∞ (16)

– задача о течении жидкости в приближении Стокса.

Пусть

senick14.wmf (17)

(ω = ∇×v' – безразмерная завихренность жидкости в приближении Стокса).

Используя (13), (14), преобразуем формулу (11) к виду

senick15.wmf (18)

В соответствии с (14)–(17) выполняются соотношения

senick16.wmf (19)

senick17.wmf при r = 1; (20)

senick18.wmf при r → ∞; (21)

ΔΨ = –ω (22)

(Ψ – безразмерная функция тока жидкости в приближении Стокса).

Из (13) следует

Δω = 0. (23)

Решая уравнение (23), найдем

senick19.wmf (24)

где αn, βn – постоянные.

Используя (18), (24), получим

f' = –2πα1. (25)

Согласно (25) уравнение (12) выполняется, тело Ξ является самодвижущимся (в жидкости) тогда и только тогда, когда α1 = 0.

Обратимся к задаче (20), (22), (24). Решая данную задачу, принимая во внимание соотношение (25), найдем

senick20.wmf

senick21.wmf (26)

Пусть тело Ξ не является самодвижущимся (уравнение самодвижения (12) не выполняется). Тогда функция ψ (определяемая формулой (26)) не удовлетворяет условиям (21) ни при каких значениях постоянных αm(m = 2,3,…), βn(n = 1,2,…) ввиду присутствия в правой части (26) слагаемого (4π)–1 f' r ln r sin θ, решение задачи (13)–(16) не существует.

Пусть тело Ξ является самодвижущимся (уравнение самодвижения (12) выполняется). Используя (21), (26), найдем

senick23.wmf

senick24.wmf (27)

Здесь senick25.wmf Из (13), (19), (27) следует

senick26.wmf (28)

где c – функция времени. Задача (13)–(16) имеет решение (19), (27), (28).

Таким образом, решение плоской задачи о стационарном обтекании не ограниченной извне вязкой жидкостью твердого цилиндрического тела, при малых значениях числа Рейнольдса (в приближении Стокса) существует – парадокс Стокса отсутствует – тогда и только тогда, когда обтекаемое жидкостью тело является самодвижущимся. Отметим, что данный результат получен ранее в работе [6] для твердого цилиндрического тела с движущейся границей.

Заключение

Выявление закономерностей совместного движения твердых тел и вязкой жидкости в различных гидромеханических условиях является одной из важнейших проблем механики жидкости. В связи с этим может представлять существенный интерес проведенное в данной работе рассмотрение, указывающее, в частности, на наличие нетривиального подхода, позволяющего обойти парадокс Стокса, избежать его возникновения. Изложенное в настоящей работе может использоваться в исследованиях в области механики жидкости, в том числе при поиске и изучении новых содержательных задач о плоских течениях вязкой жидкости вокруг твердых цилиндрических тел.


Библиографическая ссылка

Сенницкий В.Л., Гребнева В.А. СТАЦИОНАРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ САМОДВИЖУЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2020. – № 5. – С. 112-116;
URL: https://www.applied-research.ru/ru/article/view?id=13079 (дата обращения: 16.01.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074