Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,580

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В СИСТЕМЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ СРЕДЫ

Догучаева С.М. 1
1 Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации
Оптимизация управления и проектирования естественных факторов среды является практически важной областью применения методов математического моделирования природных процессов. В практике научных вычислений при приближенном решении нестационарных задач математической физики все большее внимание уделяется вычислительным алгоритмам повышенной точности [1]. Проблемы воздействия естественных и антропогенных факторов окружающей среды, должны трактоваться как единственно нелинейные, так как линейный подход не позволяет описывать реально наблюдаемые эффекты пространственной локализации (при линейном подходе скорость распространения загрязняющих веществ мгновенна) и стабилизации за конечное время. В то же время это значительно усложняет математические модели, приводя к необходимости исследования локальных и нелокальных задач со свободной границей для нелинейного параболического уравнения. Постоянно изменяющаяся экологическая ситуация требует специальных алгоритмов решения обратных задач, способных работать в реальном времени. Одна из основных задач нашего времени – это организация подготовки специалистов в области геоинформационных технологий и обработки данных с помощью новых аппаратно – программных средств.
Поверхности уровня поля концентрации
функция источников
функция стоков
диффузионные процессы
1. Вабищевич П. Н. Двухслойные схемы повышенного порядка аппроксимации для нестационарных задач математической физики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2010. – Т.50. – №1. – С. 118–130.
2. Вабищевич П.Н. Самарский А.А. Монотонные разностные схемы для задач конвекции-диффузии на треугольных сетках // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2002. – Т. 42. № 9. – С. 1368. – 1382.
3. Догучаева С.М. Качественное исследование нелинейных задач параболического типа в области применения новых информационных технологий. «Информатизация и связь». -М:2013 №1.- С.31-34.
4. Догучаева С.М. Системный подход в экономико-математическом моделировании // Научные итоги 2013 года: достижения, проекты, гипотезы. – Новосбирск: 2013. – С. 167-172.
5. Догучаева С.М. Новые процессы разработки для определения эколого-экономической ценности природных ресурсов// Международный технико-экономический журнал. – М: 2013 №6. – С.74-78.
6. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблемах окружающей среды. – М.: Наука, 1982. – 320 с.
7. Шишкин Г.И., Аппроксимация систем сингулярно возмущенных эллиптических уравнений реакции-диффузии с двумя параметрами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – М.: 2007. – Т. 47. № 5. – С 835 – 866.

Сложный многоуровневый характер природных процессов делает практически невозможным их точный математический расчет, в связи с этим, уже на стадии математического моделирования для создания численно аналитических методов расчета, реализуемых с помощью компьютерных технологий и программного обеспечения, приходится делить их на несколько подуровней. [5] Особенный интерес при изучении задач локального загрязнения окружающей среды представляют тяжелые аэрозоли. [4]. Диффузионные процессы, протекающие в атмосфере и океане, представляют собой практически важную задачу, связанную с решением различных проблем защиты окружающей среды от загрязнения [3]. Как правило, эти процессы носят турбулентный [3] характер и поэтому их теоретическое исследование сопряжено с большими трудностями, возникающими уже на стадии создания и выбором конкретных зависимостей коэффициента турбулентной диффузии K времени T, стоками f(c) и концентрацией диффундирующих примесей c. [4,5] Такое описание возможно только на основании нелинейных моделей, отражающих зависимость турбулентного коэффициента диффузии от концентрации, а также учета ее поглощения, к рассмотрению которых мы и переходим.

При прогнозировании, управлении и оптимизации процессов адвективного переноса и диффузии определяющим являются не поле концентрации c(p,t) [4], а поле поверхности ее уровня. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, естественна и необходима формулировка задач со свободными границами [3] в терминах этих определяющих величин, несмотря на существенное усложнение дифференциального уравнения [5], начального и краевых условий [4].

В случаях стремления коэффициента диффузии к нулю в окрестности границы возникают пограничные слои [7]. Но это уже другие постановки задач диффузионных процессов.

В данной работе мы рассмотрим задачу Дирихле для поверхностей уровня поля концентраций. Источник загрязнения здесь обозначается через w. [3]

Постановка задачи. Если на известной части S(t) ограниченной поверхности области W(t) задано краевое условие Дирихле, то для определения поля концентраций c(P,t) и свободной поверхности doguc1.wmf: doguc2.wmf получаем систему уравнений:

doguc3.wmf

doguc4.wmf

doguc5.wmf (1)

doguc6.wmf

Поверхности уровня скалярного поля концентрации doguc7.wmf [5] определяет в неявной форме однопараметрическое семейство поверхностей уровня doguc8.wmf где doguc9.wmf. Если краевое условие Дирихле таково, что область W(t) расслаивается изотермическими поверхностями, то концентрацию с можно считать монотонной функцией одной из координат, например, z, при фиксированных значениях x,y,t. Это дает возможность с помощью специального преобразования типа Мизеса doguc11.wmf перейти от задачи определения поля концентрации doguc12.wmf к задаче определения поля ее поверхностей уровня doguc13.wmf. Такое преобразование позволяет избавиться от необходимости определения свободной поверхности [4], так как концентрация при этом выступает в роли независимой переменной и значение c=0 соответствует этой поверхности – doguc14.wmf и для поверхностей уровня doguc15.wmf получить следующую начально – краевую задачу:

doguc16.wmf

doguc17.wmf

doguc18.wmf, doguc19.wmf (2)

doguc20.wmf,

doguc21.wmf

doguc22.wmf

где doguc23.wmf – уравнение известной поверхности doguc24.wmf;

doguc25.wmf

n – внешняя нормаль к doguc26.wmf

doguc27.wmf (3)

doguc28.wmf – тангенциальная часть оператора doguc29.wmf. При постановке задачи (2) мы воспользовались формулами дифференцирования обратных функций, которые приводят к следующим соотношениям:

doguc30.wmf,

doguc31.wmf.

Одномерная задача. В простейшем одномерном случае задача для определения поля концентраций doguc32.wmf и свободной поверхности Г(t) [3] и соответствующая задача относительно поля поверхности уровня z(c,t) записываются в виде

doguc33.wmf,

doguc34.wmf, doguc35.wmf (1′)

doguc37.wmf, doguc38.wmf doguc39.wmf,

doguc40.wmf, и

doguc41.wmf,

doguc42.wmf, doguc43.wmf, (2')

doguc44.wmf, doguc45.wmf,

doguc46.wmf doguc47.wmf,

где doguc48.wmf doguc49.wmf – функция стоков; doguc50.wmf – монотонно неубывающая функция времени

doguc51.wmf (3′)

Монотонность оператора А и нахождение единственности решения задачи для поверхностей уровня (2′) в процессе загрязнения атмосферы.

Для установления свойства монотонности оператора A воспользуемся известной первой формулой Грина

doguc55.wmf. (4)

Полагая в (4) doguc56.wmf и первый раз doguc57.wmf, а второй doguc58.wmf, где doguc59.wmf – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, определенные на doguc60.wmf получим два равенства

doguc61.wmf (5)

doguc62.wmf (6)

Вычитая (5) из (6), получаем следующее соотношение:

doguc64.wmf

doguc65.wmf

которое после простого преобразования подынтегрального выражения во втором слагаемом правой части записывается в виде

doguc66.wmf

doguc67.wmf (7)

Пусть теперь

doguc68.wmf – два различных решения задачи (2′). Тогда, в силу краевых условий первое слагаемое из (7) равно нулю, а подынтегральное выражение во втором слагаемом, в силу монотонности функций doguc69.wmf и doguc70.wmf по doguc71.wmf, положительно. Следовательно, первая формула Грина для оператора задачи (2') окончательно запишется в виде

doguc73.wmf. (8)

Так как правая часть равенства (8) не положительна, то отсюда следует монотонность оператора А на решениях задачи (2′).

Используя свойство монотонности оператора А, докажем единственность решения задачи (2′). Для этого с помощью дифференциального уравнения задачи исключим из (8) Az1 и Az1. Имеем

doguc76.wmf

doguc77.wmf

doguc78.wmf (9)

Интегрируя по частям последний интеграл, учитывая граничные условия задачи (2′) свойства функции f(c), перепишем (9) в виде

doguc80.wmf

doguc81.wmf (10)

Как нетрудно видеть, правая часть полученного равенства неотрицательна. Однако выше было сказано, что правая часть не положительна (см. (8)). Из полученного противоречия следует, что doguc82.wmf

Таким образом, мы приходим к следующему основному выводу:

Если функция источников doguc83.wmf функция стоков f(c) монотонно возрастает и doguc84.wmf, то решение одномерной задачи Дирихле (2′) для поверхностей уровня положительно и единственно.

К основным процессам самоочищения или рекреации, с учетом их результативности, следует отнести химические реакции, микробиологическое окисление, процессы адсорбции и распада. Восстановительная способность атмосферы представляется с помощью функции распределения стоков загрязнения f = f(c) [3].

При разработке неотложных мер по экологической проблеме, существенную роль играют математические модели переноса и диффузии в стратифицированных водной и воздушной средах, позволяющие производить расчеты и давать прогнозы. При построении разностных схем для задач гидродинамики, тепло- и массопереноса большое внимание уделяется так же монотонным схемам [2].

Современные практики и исследователи отмечают, что в настоящее время влияние человека на природу достигает такого размаха, что естественные регуляторные механизмы уже не в состоянии самостоятельно нейтрализовать многие нежелательные и вредные его последствия. Экологическая политика должна учитывать взаимозависимость между природными средами, технологиями производства, загрязнения и сокращения загрязнения, между самими загрязняющими веществами. Это, конечно необходимо учитывать при разработке долгосрочных программ [6].

Господствующие в обществе социальные установки оказывают решающее влияние на его экономику и системы управления. Надо уметь создавать перспективы, раскрывая потенциал сотрудников, клиентов и общества в целом [4]. Грань, отделяющая сегодняшнее состояние нашей планеты от экологической катастрофы настолько тонка, что речь надо вести не об «экологии вообще», а о размерах отклонений экологических характеристик нашей среды обитания от значений минимально необходимых для жизнедеятельности обитателей планеты.


Библиографическая ссылка

Догучаева С.М. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В СИСТЕМЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ СРЕДЫ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2014. – № 7. – С. 14-17;
URL: https://www.applied-research.ru/ru/article/view?id=5380 (дата обращения: 20.01.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074