Научный журнал

Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований

ISSN 1996-3955

ИФ РИНЦ = 0,593

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Болотнов А.М. 1 Гарифуллина С.Р. 1 Галиахметова Р.Р. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

На основе метода фиктивных источников предложен алгоритм решения краевой задачи для потенциала электрического поля катодной защиты подземного трубопровода с поврежденной изоляцией. Разработана программа на языке программирования C++ для проведения численных расчетов электрических полей в системах катодной защиты трубопроводов. Приведены примеры численных результатов, полученных на основе расчетов с реальными исходными данными. Анализ результатов подтверждает эффективность, устойчивость и универсальность разработанного алгоритма.

Статья в формате PDF

1183 KB

компьютерное моделирование

электрическое поле

трубопровод

катодная защита

глубинный анод

поврежденная изоляция

1. Алгоритм построения нейросетевой математической модели процессов коррозии нефтяных трубопроводов / Бесхлебнова Г.А., Болотнов А.М., Горбатков С.А., Башаев М.А. // Вестник компьютерных и информационных технологий. – 2006. – № 2. – С. 22–32.

2. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. – М.: Мир, 1984. – 490 с.

3. Болотнов А.М. Методы граничных элементов в расчетах электрических полей электрохимических систем. – Уфа: РИО БашГУ, 2002. – 144 с.

4. Болотнов А.М., Глазов Н.Н., Гарифуллина С.Р. Алгоритм расчета электрического поля катодной защиты трубопровода методом фиктивных источников // Системы управления и информационные технологии. – 2008. – № 2 (32). – С. 60–64.

5. Иванов В.Т., Болотнов А.М. Автоматизированная система научных исследований электрических полей в сложных электрохимических системах на основе вычислительного эксперимента // Электрохимия. – 1991. – Т. 27, № 3. – С. 324–331.

6. Иванов В.Т., Болотнов А.М. Пакет прикладных программ для численного исследования электрических полей в неоднородных электрохимических системах // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. – 1991. – № 6. – С. 21–28.

7. Компьютерное моделирование электрических полей катодной защиты трубопроводов глубинными анодами / Болотнов А.М., Зенцов В.Н., Исламов Р.Р., Мурасов Т.Т. // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 6. – С. 596. URL: http://www.science-education.ru/106-7548 (дата обращения: 27.11.2012).

8. Математическая модель и алгоритм расчета электрического поля катодной защиты трубопровода протяженными анодами / Болотнов А.М., Глазов Н.Н., Глазов Н.П., Шамшетдинов К.Л., Киселев В.Д. // Физикохимия поверхности и защита материалов. – 2008. – Т. 44, № 4. – C. 438–441.

9. Ткаченко В.Н. Анализ поля токов катодной защиты трубопроводной сети // Защита металлов. – 2006. – Т. 42, № 5. – C. 132–135.

10. Шимони К. Теоретическая электротехника. – М.: Мир, 1964. – 773 с.

Электрохимическая катодная защита (КЗ) является важнейшим средством продления срока службы подземных металлических конструкций, в том числе нефте- и газопроводов. КЗ основана на смещении электрического потенциала защищаемого объекта в отрицательную область относительно потенциала грунта. Постоянное электрическое поле в системе «анод–грунт–защищаемое сооружение» создается катодной станцией с помощью анодных заземлителей, погруженных в грунт. В практике КЗ применяются различные типы заземлителей: гибкие протяженные аноды, длиной в десятки километров, прокладываемые вдоль магистральных трубопроводов при их первичной укладке [1, 5]; глубинные аноды, соединенные из отдельных анодных блоков в «гирлянду», опущенную в вертикальную скважину [6, 7] и другие.

Для обеспечения эффективной защиты от коррозии необходимо, чтобы потенциал металла трубы относительно грунта находился в заданном интервале: при его сдвиге в положительную сторону эффективность КЗ снижается; при смещении в отрицательную сторону возникает «эффект перезащиты», что приводит к повышенному расходу электроэнергии, усиленному газообразованию на поверхности металла, отслоению и преждевременному износу изоляции трубопровода [7, 8].

В начальный период эксплуатации поверхностное сопротивление изоляции имеет максимальное значение и может достигать 300000 Ом·м2. С течением времени этот показатель непрерывно падает под действием влияния грунтовых вод, перепадов температуры и других внешних факторов. В этих условиях для обеспечения эффективной защиты необходимо соответствующее повышение напряжения катодной станции, и как следствие, – увеличение плотности тока, стекающего с анода в грунт. В свою очередь, превышение предельной плотности тока приводит к интенсивному растворению анодного материала, и тем самым к сокращению срока службы анода [4, 5]. Локальные повреждения (дефекты) в изоляции трубопровода возникают, как правило, при механических повреждениях в процессе первичной укладки трубы, а также при осадке, промерзании и оттаивании грунта.

Целью данной работы является разработка математической модели, алгоритма и программы для компьютерного моделирования и исследования электрических полей в системах КЗ трубопроводов с поврежденной изоляцией.

Математическая модель электрического поля

Пусть участок длины 2Lt горизонтального трубопровода защищен вертикальным глубинным анодом длины La, расположенным на расстоянии Lat от средней точки (x = 0) защищаемого участка трубы. Тогда потенциал u(p) постоянного электрического поля в области

,

удовлетворяет уравнению эллиптического типа [3, 5]:

; , (1)

где σ(p) – удельная электропроводность среды, См/м.

К границам-изоляторам (Si) отнесем поверхность грунта (z = 0), вертикальные плоскости симметрии в грунте (x = 0 и x = Lt) и нижнюю границу анод-грунт (z = La), для которых потребуем выполнения краевых условий:

, (2)

где n – вектор нормали к границе.

На границах «анод-грунт» (Sa) и «грунт-труба» (St) должны выполняться краевые условия третьего рода:

, , (3)

где u – потенциал в грунте, В; ca, ct – удельные сопротивления оболочки анода и изоляции трубы, Ом·м2; σ – электропроводность грунта, См/м; uam, utm – потенциалы металлов анода и трубы, В; здесь и далее индекс «a» относится к аноду, «t» – к трубе.

В граничных условиях (3) перед вторым слагаемым знак «+» соответствует условиям на аноде, знак «–» на трубе, так как направление электрического тока в системе принято положительным от анода в грунт, и от грунта к трубе.

Если зависимости плотности тока от разности потенциалов на границах Sa и St линейны, и при этом параметры анода и трубопровода не зависят от продольной координаты, то ca и ct – константы. Параметр ca зависит от координат точки на поверхности анода (ca = ca(z)), например, при моделировании составных анодов переменного радиуса, или при учете в модели процесса растворения оболочки анода. Параметр ct зависит от координат точки трубы (ct = ct (x)) при наличии неоднородностей изоляции, что является необходимым условием в задаче моделирования КЗ трубопровода с дефектами в изоляции.

Учитывая, что длины анода и трубы на несколько порядков превышают их диаметры, потенциалы металлов будем полагать постоянными в сечениях, т.е. зависящими только от продольной координаты: uam = uam(z), utm = utm(x).

Так как точка подключения анода к катодной станции находится в сечении z = 0, а точка подключения трубы – в сечении x = 0, то в качестве краевых условий в указанных сечениях примем:

; , (4)

где σa, σt – удельные электропроводности металлов анода и трубы; Sam, Stm – площади их «металлических» сечений; I0 – ток катодной станции, А.

Полагая, что участок трубы, защищаемый одним анодом, симметричен относительно плоскости Y0Z, все расчеты проводятся для одной половины этого участка (0 ≤ x ≤ Lt), поэтому в знаменателе второй формулы (4) присутствует коэффициент «2».

Условием

(5)

обеспечивается необходимое значение защитного потенциала (uprotect) в точке трубопровода, наиболее удаленной от анода.

Алгоритм решения задачи (1)–(5) состоит из двух этапов. На первом этапе решается трехмерная задача, в которой отыскивается распределение потенциала и плотности тока вдоль трубопровода с учетом имеющихся отдельных дефектов в изоляции (участков с пониженным сопротивлением). На втором этапе алгоритма решается двумерная задача в нормальном сечении к трубопроводу на участке поврежденной изоляции, в которой моделируется электрическое поле с учетом углового расположения дефекта по окружности трубопровода.

Алгоритм решения трехмерной задачи

Для решения задачи (1)–(5) использован метод фиктивных источников, который применялся в расчетах электрических полей параллельных протяженных электродов без учета неоднородностей [8]. Аналогичный подход ранее применялся в [9].

Для перехода от непрерывной модели к дискретной представим глубинный анод в виде N конечных объемных элементов (КОЭ) длины La/N, а защищаемый участок трубопровода условно разобьем на M элементов длины Lt/M. Далее для каждого КОЭ будем оперировать средними значениями неизвестных параметров:

Uam, Utm – потенциал в металле КОЭ анода или трубы;

Uag, Utg – потенциал в грунте, граничащим с КОЭ;

Iaz, Itx – продольный ток в металле между соседними КОЭ;

Iag, Itg – ток, протекающий через боковую поверхность КОЭ.

При построении алгоритма каждый КОЭ анода (трубопровода) будем ассоциировать с фиктивным источником (стоком), расположенным в геометрическом центре КОЭ.

Применяя 1-й закон Кирхгофа к каждому КОЭ, с учетом (2), сформируем первый блок N+M уравнений:

, ; , ,

, ; , . (6)

В соответствии с условиями (3) сформируем второй блок N+M уравнений:

; , ; , (7)

где Sa,i, St,j – площади боковых поверхностей КОЭ; ca,i, ct,j – сопротивления боковых поверхностей КОЭ.

Третий блок N+M–2 уравнений формируется из условия выполнения закона Ома:

; , ; , (8)

где ρa, ρt – продольные сопротивления сердечника анода и металла трубы между соседними фиктивными источниками, Ом.

Следующий блок N + M уравнений связывает потенциалы в грунте на границах КОЭ с интенсивностями точечных фиктивных источников (стоков):

; ,

; , (9)

где R(pi, pk) – расстояние от точки pi, в которой определяется потенциал, до точки pk, в которой находится фиктивный источник (сток).

Применение формул (9) обосновано принципом электростатической аналогии [10] для пространственных задач распределения электрического поля. Для корректного применения соотношений (9) в алгоритме дополнительно используется метод зеркальных отражений [10], позволяющий перевести задачу из полупространства в пространство: при вычислении (9) суммируются слагаемые не только от реальных анода и трубы, но и от их зеркально-симметричных отражений относительно поверхности земли. Отметим, что последнее дополнение не увеличивает размерности итоговой системы уравнений.

Из условия (5) имеем последнее уравнение:

. (10)

Таким образом, сформирована система линейных алгебраических уравнений (6)–(10), в которой число уравнений и неизвестных равно 4·(N+M).

Моделирование дефектных участков изоляции трубы

Определим несплошность изоляции трубопровода на КОЭ (ηiso) и коэффициент остаточного сопротивления дефектов (Kost):

; , (11)

где Sdef – суммарная площадь дефектов в изоляции КОЭ; Sall = π·dt·Lt / M – площадь боковой поверхности КОЭ трубы; Siso = Sall − Sdef – площадь изоляции КОЭ без дефектов; Cdef – среднее удельное сопротивление дефектов; Ciso – удельное сопротивление изоляции.

Отметим, что безразмерный коэффициент (0 < Kost ≤ 1) при некоторых упрощающих предположениях можно трактовать как отношение средней толщины дефектной изоляции к толщине изоляции без дефектов.

Учитывая, что сопротивление изоляции без дефектов (Riso) и суммарное сопротивление дефектов на КОЭ (Rdef) определяются как

, , (12)

и, воспользовавшись соотношением для сопротивлений параллельных проводников [10], получим полное сопротивление боковой поверхности КОЭ:

. (14)

Численные результаты решения трехмерной задачи

Приведем пример расчета электрического поля КЗ трубопровода с тремя дефектами в изоляции, расположенными на различных расстояниях от точки подключения катодной станции. В таблице приведены значения основных параметров.

Значения основных параметров

На рис. 1 представлены функции распределения потенциала по границе трубопровод-грунт и в верхнем слое грунта параллельно оси трубы.

Из рисунков видно, что при минимальном защитном потенциале 0,3 В (значение потенциала в точке x = 4 км) на участках трубопровода с дефектной изоляцией значения защитного потенциала значительно ниже минимального, что является причиной усиленной коррозии.

Алгоритм и результаты численного решения двумерной задачи

Для решения задачи (1)–(5) в двумерном сечении, нормальном к оси трубопровода, применяется метод граничных элементов [2]. Для построения граничного интегрального уравнения воспользуемся интегральной формулой Грина, которая с учетом уравнения (1), для точек p и q, лежащих на границе S, примет вид:

, (15)

где – расстояние между точками p и q.

Из формулы (15) с учетом граничных условий (3), после некоторых преобразований будем иметь интегральное уравнение относительно неизвестной функции потенциала u(p)

, (16)

в котором ядро K(p, q, u(q)) определяется следующими соотношениями (аргументы p и q для краткости опущены):

; ; ,

; .

Алгоритм решения построен на основе метода конечных сумм [2, 3] сведением граничного интегрального уравнения (16) к системе линейных алгебраических уравнений.

На рис. 2 представлены графики распределения потенциала по окружности трубы и в верхнем слое грунта по прямой, перпендикулярной оси трубопровода.

а) б)

Рис. 2. Распределения потенциала при угловых расположениях дефектов 90, 180 и 270 град; коэффициенте дефектности 0.001 и удельном сопротивлении грунта, равном, Ом·м: 1 – 500; 2 – 600; 3 – 700; (а) – грунт-труба; (б) – в верхнем слое грунта перпендикулярно оси трубопровода

Заключение

Предложена математическая модель и алгоритм расчета электрических полей в системах катодной защиты трубопроводов с повреждениями в изоляции. На основе метода фиктивных источников реализован алгоритм расчета электрического поля КЗ в трехмерной постановке. Уточнение углового расположения дефекта на окружности трубы осуществляется методом граничных элементов. Алгоритм программно реализован на языке C++ в кроссплатформенной интегрированной среде разработки приложений Code Blocks, распространяемой по лицензии GPL. Приведенные примеры расчетов служат иллюстрацией возможностей программы.

Библиографическая ссылка