Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Данилов И.И. 1
1 МАОУ «Общеобразовательное учреждение гимназия № 15»
Приводится доказательство теоремы Ферма для простых нечетных степеней. Основной идеей доказательства является опора на утверждения: если разность простых степеней двух натуральных чисел кратна n, то разность степеней этих чисел кратна и n²; разность натуральных чисел кратна n тогда и только тогда, когда разность простых степеней этих чисел кратна n². Вначале подробно исследуются третья и пятая степени теоремы. Затем теорема доказывается для общего случая. При доказательстве используются методы элементарной алгебры, в частности, формулы сокращенного умножения и бином Ньютона, а также методы теории сравнений, в частности, обобщенная теорема Эйлера, образом которой является малая теорема Ферма. Уделяя особое внимание идейной части доказательства, автор признается, что степень изложения технической части доказательства несколько ниже той, которой следовало бы придерживаться при оформлении работы.
утверждения
метод от противного
простые числа
сравнения
степень
Бухштаб А.А. Теория чисел. Издательство «ПРОСВЕЩЕНИЕ», М., 1966.  – гл. 11, п. 2.

В определенных математических кругах сложилось мнение, что Ферма был неправ, утверждая, что нашел простое доказательство своей знаменитой теоремы. Цель данного исследования  – доказать справедливость слов французского математика.

Формулировка теоремы: равенство aⁿ + bⁿ = cⁿ не выполняется при n > 2; a,b,c,n∈N.

Доказательство теоремы достаточно провести для простых нечетных степеней.

Доказательство для n, кратного 3

Рассмотрим равенство в натуральных числах (x + k)³  – x³ = k (3x² + 3xk + k²), x не кратно 3.

На основании этого равенства можно сделать следующие очевидные утверждения:

если разность чисел k не кратна 3, то  разность кубов не кратна 3, и наоборот; (1а)

если разность кубов кратна 3, то разность кубов кратна и числу 9. (1б)

Доказательство проводим методом от противного: предположим, что выполняется равенство a³ + b³ = c³, где a, b, с взаимно простые числа.

Рассмотрим преобразование:

a³ = c³  – b³ = (с  – b) (c² + cb + b²) = (с  – b) ((c  – b)² + 3cb),

откуда

a³ = (с  – b) ((c  – b)² + 3cb). (2а)

Аналогично,

b³ = (с  – a) ((c  – a)² + 3ca); (2б)

c³ = a³ + b³ = (a + b) (b²−ba + a²) = (a + b) ((a + b)²  – 3ba),

откуда

c³ = (a + b) ((a + b)²  – 3ba). (2в)

В равенстве (2а) с  – b, с и b взаимно простые, значит,

а = a1a2, dan01.wmf, (c  – b)² + 3cb = dan02.wmf. (3а)

Аналогично, с  – a, с и a взаимно простые, поэтому

b = b1b2, с  – a = dan03.wmf, (c  – a)² + 3ca = dan04.wmf; (3б)

a + b, a и b взаимно простые, поэтому

с = c1c2, a + b = dan05.wmf, (a + b)²  – 3ab = dan06.wmf. (3в)

Равенства (3а)-(3в) перепишем в виде

dan07.wmf + 3cb, dan08.wmf + 3ca, dan09.wmf  – 3ab

или

dan10.wmf = 3cb, dan11.wmf = 3ca,

dan12.wmf = 3ab. (4)

Поскольку числа a1, a2, b1, b2, c1, c2 попарно взаимно простые и левые части равенств (4) являются разностями кубов, то, в силу утверждения (1б), равенства (4) будут выполняться, если одно из чисел a, b, с будет кратным числу 3.

Поэтому пусть, например, а будет кратным числу 3.

Тогда

а = 3a1a2, a³ = 27 dan13.wmf (5)

Если cb не кратно 3, то равенство (5) неверно. Поэтому для выполнения равенства (5) надо потребовать, чтобы с  – b = dan14.wmf Тогда

a³ = dan15.wmf(81dan16.wmf + 3cb) = 27dan17.wmf(27dan18.wmf + + cb), dan19.wmf;

b = b1b2, с  – a = dan20.wmf, (c  – a)² + 3ca = =dan21.wmf  – dan22.wmf = 3ca; с = dan23.wmf, a + b = dan24.wmf, (a + b)²  – 3ab = dan25.wmf dan26.wmf = 3ab.

Подготовительная работа закончена, переходим к основной части доказательства, которую проводим, применяя теорию сравнений.

1. dan27.wmf(mod 9) по обобщенной теореме Эйлера [1]. Но dan28.wmf = (a + b)². Тогда

dan28.wmf = (a + b)² = a² + 2ab + b²≡2ab + b²≡1(mod 9), так как a²≡0(mod 9).

dan30.wmf(mod 9). Но dan31.wmf = (с  – a)².

Тогда dan32.wmf = c²−2ac + a² ≡ c²−2ac≡1(mod 9).

dan33.wmf,

откуда

(c²−2ac)−(2ab + b²) = (c²−b²)−2a(c + b) = (c + b)(c−b−2a)≡0(mod 9).

Так как

c + b = (c−b) + 2b = dan34.wmf + 2b≡2b(mod 9), то c−b−2a≡0(mod 9).

Но с  – b = dan35.wmf Значит, a≡0(mod 9). Получили противоречие условию а = 3a1a2.

2. Так как равенство a³ + b³ = c³ является симметричным относительно а и b, то результаты получим аналогичные результатам п. 1, если допустим, что b = 3b1b2.

Пусть с = 3c1c2. Тогда равенства (2в), (3а)  – (4) принимают вид

а = a1a2, с  – b = dan36.wmf, (c  – b)² + 3cb = = dan37.wmf = 3cb;

b = b1b2, с  – a = dan38.wmf, (c  – a)² + 3ca = = dan39.wmf  – dan40.wmf = 3ca;

с = 3c1c2, a + b = dan41.wmf, c³ = dan42.wmf(81dan43.wmf − – 3ba) = 81dan44.wmf(27dan45.wmf−ba), 27 dan45.wmfdan47.wmf = ab.

dan48.wmfmod 9). Но dan49.wmf = (c−b)².

Тогда

dan50.wmf(c−b)² = c²−2cb + b² ≡ − 2cb + + b²≡1(mod 9), так как c²≡0(mod 9).

dan51.wmf(mod 9). Но dan52.wmf = (с  – a)².

Тогда dan53.wmf = c²−2ac + a²≡ a²−2ac≡ 1(mod 9).

dan54.wmf,

откуда

(a²−2ac) − (−2cb + b²) = (a²−b²)− – 2c(a−b) = (a−b)(a + b−2c)≡0(mod 9).

Так как

a−b = (a + b)−2b = dan55.wmf−2b≡−2b(mod 9), то a + b−2c≡0(mod 9).

Но a + b = dan56.wmf Значит, c≡0(mod 9). Получили противоречие условию c = 3c1c2.

Вывод: предположение, что выполняется равенство a³ + b³ = c³, привело к противоречиям во всех допустимых условиях. Следовательно, предположение неверно. Значит, равенство a³ + b³ = c³ не выполняется.

Доказательство для n, кратного 5

Рассмотрим преобразование в натуральных числах при условии, что x не кратно 5:

dan57.wmf = ((х + k)  – х) (dan58.wmfх + dan59.wmfх² + + (dan60.wmf) = = k(5dan61.wmf),

откуда

dan62.wmf = k(5dan63.wmf).

На основании этого равенства можно сделать несколько очевидных утверждений:

разность чисел k не кратна 5 тогда и только тогда, когда разность степеней не кратна 5; (1а)

если разность степеней кратна 5, то разность степеней этих чисел кратна 25; (1б)

разность чисел кратна 5 тогда и только тогда, когда разность степеней кратна 25. (1в)

Предположение: пусть выполняется равенство a5 + b5 = c5, где a, b, с взаимно простые числа. Рассмотрим преобразование:

a5 = c5  – b5 = (c  – b)(dan64.wmfb + dan65.wmf + + cdan66.wmf) = (c  – b)((c –b)4 + 5c3b  – – 5dan67.wmf + 5cb3) = (c  – b)((c –b)4 + + 5dan68.wmf  – cb + b2)),

откуда

a5 = c5  – b5 = (c  – b)((c –b)4 + + 5dan69.wmf  – cb + b2)). (2а)

По аналогии,

b5 = c5  – a5 = (с  – a) ((c –a)4 + + 5ca(c²  – ca + a²)); (2б)

dan70.wmf = (a + b) (dan71.wmf  – – 5ab(a² + ab + b²)). (2в)

Числа с  – b, с и b взаимно простые, тогда

а = a1a2, dan72.wmf = с  – b, dan73.wmf + + 5cb(dan74.wmf  – cb + b2); (3а)

числа с  – a, с и a взаимно простые, тогда

b = b1b2 и dan75.wmf = с  – a, dan76.wmf + 5ca(c²  – ca + a²); (3б)

a + b, a и b взаимно простые, поэтому

с = c1c2 и dan77.wmf = a + b, dan78.wmf  – – 5ab(a² + ab + b²). (3в)

Равенства (3абв) перепишем в виде

dan79.wmf + 5cb(dan80.wmf  – cb + dan81.wmf), dan82.wmf + 5ca(c²  – ca + a²), dan83.wmf  – 5ab(a² + ab + b²)

или

dan84.wmf dan85.wmf = 5cb(dan86.wmf  – cb + dan87.wmf), dan88.wmf  – – dan89.wmf = 5ca(c²  – ca + a²), dan90.wmf  – – dan91.wmf = 5ab(a² + ab + b²). (3г)

Поскольку числа a1, a2, b1, b2, c1, c2 попарно взаимно простые и левые части равенств (3г) являются разностями пятых степеней, то, в силу утверждения (1б), равенства (3г) будут выполняться, если одно из чисел a, b, с будет кратным числу 5.

1. Поэтому пусть, например, а кратно числу 5.

Тогда

а = 5a1a2, dan92.wmf dan93.wmf(4)

Если c  – b не кратно 5, то равенство (4) не выполняется. Поэтому для выполнения равенства (4) надо потребовать, чтобы с  – b = = dan94.wmf

Тогда

dan95.wmf +

+ cb(dan96.wmf  – cb + dan97.wmf)),

где dan98.wmf + cb(dan99.wmf  – cb + dan100.wmf);

b = b1b2, dan101.wmf = с  – a, dan102.wmf + + 5ca(c²  – ca + a²); с = dan103.wmf, dan104.wmf = = a + b, dan105.wmf  – 5ab(a² + ab + b²).

dan106.wmf(mod 52) по обобщенной теореме Эйлера [2]. Но dan107.wmf. Тогда

dan108.wmf≡4ab³ + dan109.wmf≡1(mod 25), так как a²≡0(mod 25).

dan110.wmf(mod 25). Но dan111.wmf. Тогда dan112.wmf≡ c4 − 4ac³≡1(mod 25).

dan113.wmf,

откуда (c4−4ac³)−(4ab³ + b4) = (c4− b4)−2a(c³ + b³)≡−2a(c³ + b³)≡0(mod 25).

Так как c³ + b³ = (c³−b³) + 2b³≡2b3(mod25), то – 2a≡0(mod25) или a≡0(mod 25). Получили противоречие условию а = 5a1a2.

2. Так как равенство dan115.wmf является симметричным относительно а и b, то результаты получим аналогичные результатам п.1, если допустим, что b = 5b1b2.

3. Пусть с = 5c1c2. Тогда равенства (2в), (3а)  – (4) принимают вид

а = a1a2, с  – b = dan117.wmf, dan118.wmf + + 5cb(dan119.wmf  – cb + dan120.wmf);

b = b1b2, dan121.wmf = с  – a, dan122.wmf + + 5ca(c²  – ca + a²);

с = 5c1c2, a + b = dan123.wmf, dan124.wmf(dan125.wmf−5ab(a² + ab + b²)) = = dan126.wmf (dan127.wmf−ab(a² + ab + b²)),

dan128.wmf dan129.wmf  – ab(a² + ab + b²).

dan130.wmfmod 25). Но dan131.wmf. Тогда

dan132.wmf≡ −4cb³ + dan133.wmf≡1(mod 25), так как c²≡0(mod 25).

dan134.wmfmod 25). Но dan135.wmf. Тогда dan136.wmf ≡ −4ca³ + dan137.wmf≡1(mod 25).

dan139.wmf,

откуда

(dan140.wmf)−(dan141.wmf) = (dan142.wmf)− – 4c(b³−a³)≡−4c(b³−a³)≡0(mod 25).

Так как

b³−a³ = (b³ + a³)−2a³≡ −2a³(mod 25),

то c≡0(mod25). Получили противоречие условию c = 5c1c2.

4. Теперь для выполнения утверждения (1б) потребуем, чтобы числа dan144.wmf  – cb + dan145.wmf, c²  – ca + a², a² + ab + b² в равенствах (3г) были кратны 5 (при этом числа а, b, с не кратны 5).

dan146.wmf = (c  – b)(dan147.wmf + + 5dan148.wmf  – cb + dan149.wmf)

или

dan150.wmf + + 5dan151.wmf  – cb + dan152.wmf

dan153.wmf − dan154.wmf = 5dan155.wmf  – – cb + dan156.wmf,

dan157.wmf − dan158.wmf≡0(mod 25), так как dan160.wmf  – cb + dan161.wmf≡0(mod 5) по условию.

dan163.wmf − dan164.wmf≡0(mod 25),

dan166.wmf − dan167.wmf≡0(mod 25),

dan169.wmf − dan170.wmf≡0(mod 25), так как dan172.wmfmod 25). (4а)

По аналогии,

dan173.wmf − dan174.wmf≡0(mod 25), (4б)

(a + b)  – (dan176.wmf) ≡ 0(mod 25). (4в)

После сложения сравнений (4аб) получаем:

2dan178.wmf 2c + (a + b)  – – (dan179.wmf) ≡ 0(mod 25). (5а)

Учитывая сравнение (4в), из сравнения (5а) получаем

2dan181.wmf 2c ≡ 0(mod 25), откуда c4 ≡ 1(mod 25). (5б)

Аналогично можно прийти к результатам:

b4 ≡ 1dan184.wmf≡ 1(mod 25). (5в)

Далее, рассмотрим сравнение

dan186.wmfdan187.wmf (6а)

Учитывая результаты (5бв), из сравнения (6а) получаем a + b ≡ c (mod 25) или

a + b  – c ≡ 0(mod 25) (6б)

Вернемся к равенству (3г)

dan190.wmf  – dan191.wmf = 5ab(a² + ab + b²),

где по условию a² + ab + b² ≡ 0(mod 5)

Учитывая утверждение (1в), получаем dan193.wmf = 5m, где m не кратно 5. Умножим последнее равенство на c1: dan194.wmf c2 = 5c1m или a + b  – c = 5c1m.

Учитывая (6б), делаем вывод, что 5c1m ≡ 0(mod 25), что невозможно, так как c1 и m не кратны 5.

Получили противоречие условию, в котором числа c2  – cb + b², c²  – ca + a², a² + ab + b² в равенствах (3г) были кратны 5 (при этом числа а, b, с не кратны 5).

По пунктам 1−4 получили противоречия условиям, при которых выполняется равенство dan196.wmf, где a, b, с взаимно простые числа. Следовательно, данное равенство не выполняется.

Доказательство для произвольной простой степени n > 5

Рассмотрим разность степеней (x не кратно n, x и k взаимно простые):

dan197.wmf = ((х + k)  – х) (dan198.wmfx + …. + dan199.wmf

k((dan200.wmfk + … + dan201.wmfxdan202.wmf + (dan203.wmfk + … +

dan204.wmf)x + … + (dan205.wmf)dan206.wmf + (dan207.wmf) = k((dan208.wmf

… + dan209.wmf)dan210.wmf + (dan211.wmf + … + dan212.wmf)dan213.wmfk + … + (dan214.wmf) = = k(ndan215.wmfk + dan216.wmf + … + ndan217.wmf, t1, t2,…  – натуральные.

Итак, dan218.wmf = k(ndan219.wmfk + dan220.wmf + … + ndan221.wmf. (1а)

Рассмотрим еще одно преобразование:

dan222.wmfb + … + dan223.wmf,

dan224.wmf dan225.wmf = (c  – b)(dan226.wmfb + dan227.wmf + cdan228.wmf) =

= (c  – b)(dan229.wmfb + (1  – dan230.wmfb² + .. + dan231.wmf).

Или

dan233.wmf dan234.wmf = (c  – b)(dan235.wmfb + (1  – dan236.wmfb² + .. + dan237.wmf). (1б)

Докажем, что dan239.wmf или что dan240.wmf.

dan241.wmf (dan242.wmf  – 1) = dan243.wmf

dan244.wmf.

Учитывая доказанное равенство, рассмотрим биномиальные коэффициенты в равенстве (1б):

dan245.wmf  – 1 = dan246.wmf + 1) = dan247.wmf,

dan248.wmf,…

По следствию теоремы Люка биномиальные коэффициенты dan249.wmf кратны n, значит, коэффициенты dan250.wmf1  – dan251.wmf кратны n. (1в)

Далее в равенстве (1б) b заменим на x, c заменим на

dan252.wmf: dan253.wmf  – dan254.wmf =

= k (dan255.wmfx +

+ (1  – dan256.wmfx² + .. +

dan257.wmf. (1г)

Сравнивая равенства (1аг), можно сделать следующие выводы:

1) коэффициент при старшей степени x равен n;

2) коэффициент при старшей степени k равен 1;

3) коэффициенты при смешанных степенях x и k кратны n.

Учитывая данные выводы, из равенства (1г) следуют утверждения:

если разность степеней кратна n, то разность степеней этих чисел кратна n²; (1д)

разность чисел кратна n тогда и только тогда, когда разность степеней кратна n². (1е)

Предположение: пусть выполняется равенство dan258.wmf, где a, b, с взаимно простые числа, n  – простое число. Рассмотрим преобразование:

dan259.wmf dan260.wmf =

(c  – b)(dan261.wmfb +

+ (1  – dan262.wmfb² + .. + dan263.wmf) =

= (c  – b)(dan265.wmff(c,b))

или

dan266.wmf(c  – b)(dan267.wmff(c,b)). (2а)

По аналогии,

dan268.wmf = (с  – a) (dan269.wmff(c,a)), (2б)

dan270.wmf = (a + b) (dan271.wmff(b,a)). (2в)

Числа с  – b, с и b взаимно простые, тогда

а = a1a2, dan272.wmf =

= с  – b,dan273.wmf f(c,b); (3а)

числа с  – a, с и a взаимно простые, тогда

b = b1b2 и dan274.wmf =

= с  – a,dan275.wmff(c,a); (3б)

a + b, a и b взаимно простые, поэтому с = с1с2 и

dan276.wmf = a + b,

dan277.wmf f(b,a). (3в)

Равенства (3абв) перепишем в виде

dan278.wmff(c,b),

dan279.wmff(c,a),

dan280.wmf  – dan281.wmff(b,a)

или

dan282.wmff(c,b),

dan283.wmff(c,a),

dan284.wmf  – dan285.wmf f(b,a). (3г)

Если одно из чисел a, b, с, или числа f(c,b), f(b,a), f(b,a) не кратны числу n, то равенства (3г) не выполняются в силу утверждения (1д).

1. Пусть а кратно числу n. Тогда равенства (3абвг) принимают вид:

а = na1a2, с  – b = dan286.wmf,

dan287.wmf

где

dan288.wmf

b = b1b2, dan289.wmf = с  – a, dan290.wmff(c,a))

или

dan291.wmff(c,a)),

с = dan292.wmf, dan293.wmf = a + b, dan294.wmf  – dan295.wmff(b,a)

или

dan296.wmff(b,a).

dan297.wmfmod n²) по обобщенной теореме Эйлера [1]. Но dan298.wmf. Тогда

dan299.wmf≡(n−1)adan300.wmf

≡ 1(mod n²), так как a²≡0(mod n²).

dan301.wmfmod n²). Но dan302.wmf. Тогда dan303.wmfdan304.wmf−(n−1)adan305.wmf≡1(mod n²).

dan307.wmf,

откуда

dan308.wmf−(n−1)adan309.wmf −(dan310.wmf

– dan311.wmf−(n−1)a(dan312.wmf)≡

≡−(n−1)a(dan313.wmf)≡ 0(mod n²).

Так как

dan314.wmf = (dan315.wmfdan316.wmf) +

+ 2dan317.wmf≡2dan318.wmf

то

− (n−1)a≡ 0(mod n²) или a≡0(mod n²). Получили противоречие условию а = na1a2.

2. Так как равенство dan319.wmf является симметричным относительно а и b, то результаты получим аналогичные результатам п. 1, если допустим, что b = nb1b2.

3. Пусть с = nc1c2. Тогда равенства (3а)  – (3г) принимают вид

а = a1a2, с  – b = dan321.wmf, dan322.wmff(c,b)); b = b1b2, dan323.wmf = с  – a, dan324.wmf + nca∙f(c,a);

с = nc1c2, a + b = dan326.wmf,

dan327.wmf−ab∙f(a,b),

dan329.wmf(dan330.wmf−nab∙f(a, b)) =

dan332.wmf(dan333.wmf−ab∙f(a, b)).

dan335.wmfmod n²). Но dan336.wmf. Тогда

dan337.wmf≡ −(n−1)cdan338.wmf

≡1(mod n²),

так как c²≡0(mod n²).

dan339.wmfmod n²). Но dan340.wmf. Тогда

dan341.wmf ≡ −(n−1)cdan342.wmf

≡1(mod n²).

dan344.wmf,

откуда

(dan345.wmf)−(dan346.wmf) = = (dan347.wmf)−(n−1)c(dan348.wmf)≡ − – (n − 1) c(dan349.wmf)≡0(mod n²).

Так как

dan350.wmf = (dan351.wmf) −2dan352.wmf

≡ −2dan353.wmfmod n²), то c≡0(mod n²).

Получили противоречие условию

c = dan354.wmf.

4. Теперь для выполнения утверждения (1д) потребуем, чтобы числа f(c,b), f(c,a), f(b,a) в равенствах (3абв) были кратны n (при этом числа а, b, или с не кратны n).

dan355.wmf = (c  – b)(dan356.wmf + ndan357.wmf) или dan358.wmf + ndan359.wmf

dan360.wmfdan361.wmf = ndan362.wmf ,

dan363.wmf − dan364.wmf≡0dan365.wmf,

так как f(c,b)≡0dan366.wmf по условию.

dan367.wmf − dan368.wmf≡0dan369.wmf, dan370.wmf − dan371.wmf≡0dan372.wmf,

dan373.wmf − dan374.wmf≡0dan375.wmf,

так как dan376.wmfmod n²). (4а)

По аналогии,

dan377.wmf − dan378.wmf≡0dan379.wmf, (4б)

(a + b)  – (dan380.wmf) ≡ 0dan381.wmf. (4в)

После сложения сравнений (4аб) имеем

2dan382.wmf 2c + (a + b)  – (dan383.wmf) ≡ ≡ 0dan384.wmf. (5а)

Учитывая (4в), из сравнения (5а) имеем

2dan385.wmf 2c ≡ 0dan386.wmf,

откуда dan387.wmf≡ 1dan388.wmf. (5б)

Аналогично можно прийти к результатам:

bn–1≡ 1dan390.wmf≡ 1dan391.wmf. (5в)

Далее, рассмотрим сравнение

dan392.wmfdan393.wmf (6а)

Учитывая результаты (5бв), из сравнения (6а) получаем a + b ≡ c dan394.wmf или

a + b  – c ≡ 0dan395.wmf (6б)

Вернемся к равенству (3г)

dan396.wmf  – dan397.wmf = nab∙ f(b,a),

где по условию f(b,a) ≡ 0dan398.wmfУчитывая утверждение (1е), получаем dan399.wmf = nm, где m не кратно n. Умножим последнее равенство на c1:

dan400.wmf dan401.wmf = nc1m

или

a + b  – c = nc1m.

Учитывая (6б), делаем вывод, что

nc1m ≡ 0dan403.wmf,

что невозможно (c1 и m не кратны n).

Получили противоречие условию, в котором числа f(c,b), f(c,a), f(b,a) в равенствах (3г) были кратны n (при этом числа а, b, с не кратны n).

По пунктам 1−4 получили противоречия условиям, при которых выполняется равенство dan404.wmf. Следовательно, данное равенство не выполняется.

Заключение

Так как равенство dan405.wmf не выполняется для простых степеней n > 2, то оно не выполняется и для любых нечетных степеней n > 2. Теорема Ферма доказана.


Библиографическая ссылка

Данилов И.И. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2015. – № 12-6. – С. 999-1005;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=8070 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674