Нагруженным уравнением в частных производных второго порядка посвящены работы [1-10]. Общее определение этого широкого класса уравнений в частных производных было впервые дано А.М. Нахушевым в работах [7-8].
Многими авторами исследовались нелокальные краевые задачи для смешанных эллиптико – гиперболических и гиперболо – параболических уравнений второго порядка. Нелокальные краевые задачи для смешанного и смешанного нагруженного гиперболо – параболического типов уравнений более высокого порядка, то они остаются мало исследованными.
Цель работы состоит в постановке и исследовании однозначной разрешимости одной нелокальной краевой задачи для смешанного нагруженного уравнения третьего порядка.
Постановка задачи. Пусть Ω – конечная односвязная область, ограниченная отрезками AA0, А0B0, BB0 прямых x = 0, y = h, x = l соответственно, расположенных в полуплоскости y > 0, и характеристиками
AC:x + y = 0, BC:x – y = l
уравнения
(1)
Ω1 – параболическая, а Ω2 – гиперболическая части области Ω.
Предполагается, что – фиксированные точки из интервала (0, l), причем
Задача. Найти функцию u(x, y) со следующими свойствами:
1) ;
2) u(x, y) – регулярное решение уравнения (1) при y ≠ 0;
3) u(x, y) – удовлетворяет краевым условиям
где
Переходя к пределу в уравнении (1) при y → + 0, получим функциональное соотношение между u(x, 0) = τ(x) и uy (x, 0) = v(x), принесенное из параболической части Ω1 на линию y = 0, в виде
(4)
Общее решение уравнения (1) при y < 0 задается формулой
(5)
где
Удовлетворяя (5) краевым условиям (3), получим систему уравнений
Определим из второго уравнения системы ω(– x):
Интегрируя, получим
Отсюда, что то же самое
и, окончательно,
Подставляя ω(– x) в первое уравнение системы, найдем
или
Из (5) будем иметь
В результате несложных преобразований последнее принимает вид
(6)
Дифференцируя (6) по x, а затем по y, и вычитая из первого соотношения второе и переходя к пределу при y → – 0, получим функциональное соотношение между τ(x) и v(x), принесенное из гиперболической части Ω2 на линию y = 0 в виде
(7)
где
Исключая v(x) из (4) и (7), с учетом граничных условий (2), получим для определения τ(x) следующую задачу:
(8)
(9)
где .
Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению
(8')
имеет вид
(10)
Введем обозначение . Известно [2], что уравнение (10) имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня, если S > 0. Оно имеет три различных действительных корня, если S < 0. При S = 0 все три корня уравнения (10) действительны, причем два из них равны.
Пусть S = 0, т.е. . В этом случае имеем, что
Так как общее решение уравнения (8') в этом случае имеет вид
методом вариации постоянных, находим общее решение уравнения (8) в виде
где
причем, G(x), P(x),ρi – известные функции.
Полагая в равенстве (11) поочередно x = x1, x = x2,…, x = xn, получаем следующую систему алгебраических уравнений относительно τ(x),
(12)
где
При выполнении условия
(13)
система (12) имеет единственное решение
(14)
Таким образом, подставляя (14) в (11), находим единственное решение задачи (8), (9). Легко заметить, что τ(0) ≡ 0, если .
После определения функции τ(x) мы приходим к задаче (2), u(x, 0) = τ(x) в области Ω1. Допустим, что однородная задача имеет нетривиальное решение v(x, y). Положим
(15)
где λ, μ – некоторые постоянные. Для функции v(x, y) получим уравнение
и краевые условия
(16)
По предположению, в силу (15), эта задача имеет нетривиальное решение v(x, y).
Рассмотрим тождество
Интегрируя это тождество по области Ω1 и учитывая однородные граничные условия (16) получим
(17)
Выберем λ и μ так, чтобы При таком выборе λ и μ левая часть равенства (17) становится строго положительной, что невозможно, если v(x, y) ≠ 0. Отсюда следует, что v(xj, y) = 0. Отсюда будем иметь, что v(xj, y) ≡ 0 для всех , и, согласно (15), u(x, y) ≡ 0 для всех . В области Ω2 однородная задача v(x, 0) = 0, для уравнения (1) при y < 0 имеет только тривиальное решение u(x, y) ≡ 0 для всех . Следовательно, u(x, y) = 0 в Ω2.
Для доказательства существования решения поставленной задачи рассмотрено уравнение
(18)
Доказано, что при
краевая задача
(19)
имеет решение.
Существование решения задачи (18), (19) устанавливается с помощью преобразования Лапласа и сведением задачи к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода, относительно следа искомого решения, которая однозначно разрешима.
Библиографическая ссылка
Водахова В.А., Тлупова Р.Г., Эржибова Ф.А., Болова Д.А. НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 4-5. – С. 876-879;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=9093 (дата обращения: 20.04.2024).