Научный журнал
Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

ПОГРЕШНОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА ОТ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ТЕМПЕРАТУРЫ И КОНЕЧНОЙ ЖЕСТКОСТИ РОТОРА

Аринов Е. 1 Байжуманов М.К. 2 Карипбаев С.Ж. 3
1 АО «Жезказганский университет им. О.А. Байконурова»
2 АО «Академия гражданской авиации»
3 АО «Академия гражданской авиации»
Исследовано движение вязкоупругого ротора электростатического гироскопа (ЭСГ) в случае двойного вращения. Построена силовая функция и оценены возмущающие моменты для асферизованного ротора ЭСГ, установлено, что принципиально невозможно устранить возмущающие моменты с помощью асферизации.
электростатический гироскоп
главный вектор
главный момент
силовая функция
деформация
угол нутации
уход
1. Мартыненко Ю.Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях. – М.: Наука, 1988. – 368 с.
2. Корецкий А.В. Возмущающие моменты в электростатическом подвесе // Межведомств. сб. тродов. – М.: Моск. энерг. ин-т 1985. – № – 80. – С. 110-114.
3. Мартыненко Ю.Г. Уходы электростатического гироскопа, вызываемые несферичностью ротора // Изв. АН СССР. МТТ. – 1970. – № 1. С.10-18.
4. «Разработка бескардановых гироскопов с шаровым ротором на электростатическом и шарикоподшипниковом подвесах» за 2012-2014гг. Отчет о научно – исследовательской работе ГРНТИ 30.15.35, № госрегистрации: 0112РК02743, Инв: № 0212РК01519, Инв: № 0213РК01969.
5. Аринов Е., М.К. Байжуманов М.К., Карипбаев С.Ж., Сартаев К.З. Механизм демпфирования нутационных колебаний ротора электростатического гироскопа //Вестник ПГУ, ISSN 1811-1858, серия ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ, 2014. – № 3. С. 16-25.
6. Аринов Е., М.К. Байжуманов М.К., Карипбаев С.Ж., Сартаев К.З. Движение упругого ротора электростатического гироскопа с переменным моментом инерции в неконтактном подвесе //Вестник ПГУ, ISSN 1811-1858, серия ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ, 2014. – № 3. С.25-31.
7. Байжуманов М.К.,Карипбаев С.Ж., Сартаев К.З. Задача о напряженно-деформированном состоянии ротора электростатического гироскопа //Материалы 11 международной научно – технической конференций, АВИА 2013, Космические агентства Украины, Национальный авиационный университет, ДП «Антонов». – Киев, 20-23 мая 2013. – С. 20.29-20.32.

Несмотря на разрешение многих принципиальных вопросов, в настоящее время в литературе отсутствует полное решение ряда задач, появляющихся при исследовании и совершенствовании подвеса ротора в регулируемом электростатическом поле, связанных с влиянием температуры окружающей среды на стабильность угловой скорости, а также анализ уводящих моментов, возникающих вследствие упругих деформаций чувствительных элементов навигационных систем.

На стабильность угловой скорости влияет изменение размеров ротора, происходящее при изменении температуры окружающей среды. Возникновение градиентов температуры внутри ротора приведет к неодинаковому расширению материала ротора ЭСГ и будет сопровождаться изменением его напряженно-деформированного состояния, что в свою очередь приведет к изменению внешней поверхности ротора.

Источники возмущающих моментов, приложенных к ротору ЭСГ, могут быть вызваны следующими причинами [1]:

– погрешностями формы ротора и электродов подвеса;

– наличием магнитных полей в пространстве, окружающем ротор;

– неоднородностью гравитационного поля;

– наличием остаточного газа в зазоре между электродами подвеса и ротором.

Причинами возникновения не сферичности ротора является погрешности изготовления ротора, центробежные силы, возникающие при его вращении, термоупругие деформации, появляющиеся при изменении температуры.

Рассмотрим твердое тело, подвешенное в вакууме в некотором силовом поле. Подвес шарового ротора осуществляется в вакууме в регулируемом электрическое поле. Поддерживающие силы в таком подвесе можно считать направленными по нормали к поверхности ротора, у которого центр масс совпадает с геометрическим центром, момент поддерживающих сил относительно центра масс оказывается равным нулю. При этом ось вращения гироскопа будет неограниченно долго сохранять неизменное направление в пространстве. В действительности поверхность ротора всегда отличается от сферической, поэтому в реальном приборе возникает возмущающий момент, величина которого и определяет точность прибора [1].

Для расчета главного вектора и главного момента сил, действующих на ротор, используются формулы [1]

arin01.wmf (1)

arin02.wmf (2)

Здесь arin03.wmf – плотность поддерживающих сил, действующих на элемент поверхности ds; n – единичный вектор внешней нормали к поверхности ротора S1 : r – радиус вектор, проведенной из центра масс в точку поверхности ротора S1 : U – функция потенциала пола в электростатическом подвесе. В работе [2] проводится расчет поля в подвесе электростатического гироскопа, и при достаточно малых зазорах между электродами подвеса и ротора, получено выражение для плотности поддерживающих сил

arin04.wmf, arin05.wmf (3)

где uj потенциал j-го электрода, ub-потенциал ротора, R1 – радиус сферы, на которой расположены электроды, d – относительный зазор между ротором и электродами.

Потенциал ротора определяется формулой [1]

arin06.wmf (4)

Здесь q – заряд ротора.

Проекции главного момента на оси трехгранника 123 для сферической системы 11 с полярной осью 3, имеют вид [2, 3]

arin07.wmf

arin08.wmf

arin09.wmf (5)

Для определенности рассмотрим шести электродный подвес ротора. Пронумеруем электроды таким образом, чтобы положительному направлению оси i соответствовал (2i-1) – й электрод, а отрицательному (2i)-й электрод. Согласно [2] уравнения поверхностей электродов S имеют вид

arin10.wmf, arin11.wmf (6)

Полагая в [4, 11]

arin12.wmf

arin13.wmf

arin14.wmf,

Где

arin15.wmf

первое уравнение r = 1, получим уравнение деформации ротора в сферических координатах трехгранника, жестко связанного с ротором

arin16a.wmf

arin16b.wmf (7)

Для проведения асферизации ротора вращаем его вокруг оси динамической симметрии 0x3. При этом угол нутации = 0, откуда следует, что проекции вектора угловой скорости на ось x1 a = 0, на ось x3 = L/IЗ. Поставляя эту проекцию угловой скорости в (7), получим уравнения деформации ротора при вращении его вокруг 0x3

arin17.wmf

Затем, вычитая последнее из (7), можно написать уравнение поверхности деформированного ротора в движении, близком к движению Эйлера-Пуансо, с учетом его деформации.

arin18.wmf

arin19.wmf (8)

Принимаем во внимание (2.3) и (2.6), перепишем уравнение (8) в сферическими координатами , и 1, 1 с полярной осью 3 определяется следующим образом

arin20.wmf (9)

Предположим, что вектор кинетического момента лежит в плоскости 13, т.е. = 0, учитывая (2.6), получим следующие выражения

arin21.wmf

arin22.wmf

arin23.wmf

arin24.wmf

arin25.wmf (10)

arin26.wmf

arin27.wmf

arin28.wmf

arin29.wmf

С учетом (9) получим уравнение деформированной поверхности ротора в трехграннике 123, жестко связанном с корпусом ротора в сферических координатах 1, 1

arin30.wmf (11)

Подставляя уравнение (11) в формулы (5) и выполняя интегрирование по поверхностям электродов (6), затем осредняя полученные выражения по явно выходящему времени, с учетом (10) имеем для проекции момента поддерживающих сил, действующих со стороны пятого и шестого электродов, следующие выражения, соответственно

arin31.wmf, arin32.wmf (12)

arin33.wmf, arin34.wmf

где

arin35.wmf

В рассматриваемой сферической системе координат интегрирование (6) по поверхностям других электродов затруднительно, однако, учитывая симметрию данной конфигурации электродов подвеса, требуемый результат можно получить при использовании других сферических координат с полярным осями 2 и 3 при интегрировании S3 и S4 и соответственно – по S1 и S2. Выполнив указанные преразования, находим

arin36.wmf

arin37.wmf (13)

arin38.wmf, arin39.wmf

arin40.wmf, arin41.wmf

Используя (12) и (13), находим выражения для проекций суммарного момента, действующего на ротор со стороны всех электродов

arin42.wmf,

arin43.wmf (14)

В общем случае, когда кинетический момент расположен произвольным образом относительно системы координат 123, проводя аналогичные рассуждения как и в случае, когда вектор кинетического момента лежит в плоскости 13, имеем для проекций момента поддерживающих сил, действующих со стороны всех электродов подвеса следующие выражения

arin44.wmf,

arin45.wmf (15)

arin46.wmf

Введем в рассмотрение функцию

W = W(1, 2, 3) (16)

Производные по углам 1, 2, 3 от функции (16) дают проекции моментов сил, действующих по нормали к поверхности ротора на оси неподвижного трехгранника 123 [1]:

arin47.wmf,

arin48.wmf (17)

arin49.wmf

Из (15), (16) и (17) видно, что в рассматриваемом случае силовая функция моментов сил является квадратичной формой направляющих косинусов вектора кинетического момента ротора

arin50a.wmf

arin50b.wmf (18)

В случае, когда твердое тело неподвижно в неконтактном подвесе, главный вектор поддерживающих сил F уравновешивается главным вектором массовых сил, приложенных к телу (массовыми силами являются сила тяготения, сила инерции переносного движения и т.д.). Таким образом, силовая функция (18) представляет собой силовую функцию маятника, у которого масса равна массе тела, а центр масс смещен из центра неконтактного подвеса на величину R11. При этом возмущения, определяемые силовой функцией (18), будут линейными. (Возмущения называются линейными, если для них можно построить силовую функцию, линейно зависящую от направляющих косинусов осп симметрии тела с неизменно ориентированными в пространстве осями 123.

Принимая во внимание формулы для плотности поддерживающих сил (3), перепишем силовую функцию в виде

arin51.wmf (19)

Для последующего анализа моментов необходимо конкретизировать выражения для потенциалов uj.

Электроды, отвечающие разным каналам системы регулирования подвеса, не должны пересекаться, поэтому величина 0 = cos0 в (12) удовлетворяет неравенству arin52.wmfarin53.wmf. Следовательно, начиная с пятой гармоники, можно выбрать такой угол 0, определяющий размер электрода, чтобы

Pk –1(cos0) – Pk +1(cos0) = 0

При указанном выборе 0 момент, обусловленный наличием k-й гармоники в форме тела, будет тождественно равен нулю. В частности, при k = 5 корень вышеуказанного уравнения 40, 34 ° при k = 6, 29 ° при k = 7 и т.д.

Остановимся на рассмотрении системы регулирования на постоянном токе. В этом случае потенциалы электродов uj удовлетворяют неравенству [1]:

0 uj 2V0

Здесь V0 – «опорное» напряжение на электродах. Если пренебречь динамикой системы регулирования, то закон управления потенциалами электродов можно записать

u2j –1 = V0 – Vj, u2j = V0 + Vj, arin54.wmf (20)

где Vj = const – добавочное напряжение, подаваемое системой регулирования на электроды для обеспечения стабилизации положения центра масс ротора на оси подвеса.

arin55.wmf

arin56.wmf

Согласно [1] при линейном законе регулирования потенциалов электродов (20) величину arin57.wmf в (2.81) можно выразить через проекцию на ось 2 главного вектора поддерживающих сил, приложенных к телу

arin58a.wmf

arin58b.wmf (21)

Представим проекции равнодействующей поддерживающих сил F на оси 1, 2 и 3 в виде

F1 = F sin 1 cos 1,

F2 = F sin 1 sin 1, F3 = cos 1

Здесь два угла 1 и 1 сферической системы координат с полярной осью 3, характеризует положение главного вектора массовых сил.

Потенциалы электродов не могут быть произвольными: установившимся режиме работы электростатического гироскопа на неподвижном основании главный вектор поддерживающих сил F уравновешивается силой тяжести ротора Р.

Подставляя (19) с учетом (21), (4) и проекции вектора поддерживающих сил (17) получим квадрат модуля моментов сил, действующих на незаряженный ротор со стороны электростатического поля

arin59.wmf,

где

arin60.wmf, arin61.wmf,

arin62.wmf,

arin63.wmf.

Исследуем зависимость возмущающего момента от ориентации вектора кинетического момента. Видно, что в случае, когда = 0, т.е., когда вектор кинетического момента направлен по оси 3 момент равен нулю.

Максимального значения момент достигает в случае, когда сила тяжести коллинеарна одной из осей симметрии электродов, т.е. когда в (18) F1 = mg [1, стр. 108.].

Числовой пример. Рассмотрим электростатический гироскоп, у которого физические и геометрические характеристики: радиус ротора R = 0.5 см, механические характеристики: плотность = 1850 кг/м3, модуль сдвига G = 1,15*1011 Па, коэффициент Пуассона = 0.3, угловая скорость = 1.88*104 сек-1, I1 = 0.9*I3 , I3 = 0.968*10-8 кг м2, Кинетический момент L = 1.824*10-4 кг м2/с, логарифмический декремент затухания = 0.02. Опорные напряжение, подаваемые на электродами V0 = 450 B, относительно зазор между ротором и электродами d = 6*10–3. Пусть вектор кинетического момента лежит в плоскости 13. Угол, определяющий геометрический размер электродов, 0 = arccos(5/6). По формуле (2.60) получаем Mmax = 3,2* *10–4 г см2/с2. Это значение достигается, когда = /2 и когда вектор кинетического момента образуется осью 3 угол /4 или 3/4, т.е. 1,3 = 0,5. По формуле Mmax/L получаем величину возможно ухода электростатического гироскопа * = 3,5*10–2 град/час. Для современного прецизионного гироскопа существенным считается уход 10–310–5 град/час.

Проведем асферизацию с учетом «двойного вращение» ротора. Для этого введем функцию ur(, )

ur(, )= – arin64.wmf (22)

где q* пока неизвестный коэффициент. Вычитая (22) из (7), имеем уравнении поверхности деформированного ротора в движении, близком к движению Эйлера-Пуансо, с учетом асферизации ротора [4]

arin65a.wmf

arin65b.wmf (23)

Далее, проделывая аналогичные выкладки как и выше в рассмотренном случае, получим для M0 следующее выражение

arin66.wmf

arin67.wmf (24)

Из (17) и (19) видно, что при M0 равном нулю, возмущающий момент, действующий на ротор электростатического поля, тоже обращается в нулю. Следовательно, приравнивая к нулю (24), можно найти значения q*, при котором момент будет равен нулю

arin68.wmf (25)

Выводы

Из (25) видно, что переменный коэффициент q* имеет особенность при arin69.wmf. Следовательно, имеют место такие режимы движения ротора ЭСГ, при которых избавиться от возмущающих моментов, вызванных инерционными силами, при помощи асферизации, принципиально невозможно.


Библиографическая ссылка

Аринов Е., Байжуманов М.К., Карипбаев С.Ж. ПОГРЕШНОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА ОТ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ТЕМПЕРАТУРЫ И КОНЕЧНОЙ ЖЕСТКОСТИ РОТОРА // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 6-4. – С. 623-629;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=9664 (дата обращения: 29.03.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674