В настоящее время одним из самых перспективных направлений развития систем передачи информации считается метод мультиплексирования с ортогональным частотным разделением каналов (OFDM-Orthogonal Frequency Division Multiplexing). Однако, для представления переменных и выполнения арифметических операций в системах OFDM, реализуемых с использованием преобразования Фурье и его быстрых модификаций (FFT – Fast Fourier Transform, IFFT-Inverse Fast Fourier Transform) используется конечное число битов. Более того, реализация FFT характеризуется наличием двух вычислительных трактов и предопределяет значительные погрешности при вычислении значений спектральных коэффициентов в поле комплексных чисел, обусловленные тем, что поворачивающие коэффициенты представляют собой иррациональные числа [3, 4]. Указанные особенности реализации FFT над полем комплексных чисел приводят к снижению показателей системы OFDM.
Цель исследования. Добиться качественных изменений систем OFDM можно за счет использования ортогональных преобразований, определенных на алгебраических системах обладающих структурой кольца или поля, в том числе и конечных (конечное кольцо вычетов по модулю целого числа, конечное поле Галуа) [2, 3]. При этом возможно не только повысить точность и скорость обработки сигналов, но и обеспечить отказоустойчивость вычислительного устройства OFDM. Реализация арифметических операций конечного поля или кольца значительно проще по сравнению с реализацией поля комплексных чисел, поскольку элементы поля Галуа или кольца вычетов обычно кодируются целыми числами. Операции сложения и умножения в этих системах представляют собой сложение и умножение по модулю целого числа, практически операции производятся над целыми, а не комплексными числами.
Целью работы является повышение эффективности OFDM за счет использования ортогональных преобразований над конечным полем или кольцом за счет точности вычислений.
Материалы и методы исследования
В основе реализации OFDM лежит способ синтеза сложного сигнала из отдельных гармонических составляющих на основе обратного преобразования Фурье. Синтетическим методом создается спектр сигнала, из которого с использованием IFFT получается аналоговый сигнал. Спектр такого сигнала уже состоит из ортогональных поднесущих по определению преобразования Фурье.
Синтез OFDM сигнала предусматривает использование ряда ортогональных поднесущих, 
модулированных комплексными информационными символами 
. Ортогональность обеспечивается на так называемом полезном интервале времени Tu при выполнении условия:
(1)
Комплексный информационный модулирующий символ имеет вид:
, (2)
где Fn – амплитуда символа, 
– фаза символа, 
.
Задача, решаемая OFDM, сводится к получению на временном интервале Tu непрерывного сигнала, состоящего из N ортогональных поднесущих, 
, модулированных символами 
:
(3)
где fn – частота n-й поднесущей.
Из (1) и (3) следует, что ортогональность модулированных поднесущих обеспечивается при выполнении условия:
, (4)
где 
– разнос между соседними поднесущими.
Выберем период дискретизации T из условия:
, (5)
и проведем преобразование выражения (3), перейдя от непрерывного времени к дискретному:
, (6)
где 
.
В результате получим значения дискретизированного по времени сигнала:
(7)
Таким образом, мы перешли от непрерывной формы описания OFDM сигнала (3) к дискретной (7). Полученное выражение представляет собой действительную часть обратного дискретного преобразования Фурье (DFT – Discrete Fourier Transform, IDFT – Inverse Discrete Fourier Transform). IDFT в OFDM системах осуществляется в комплексной форме, поэтому выражение (7) представим в виде:
. (8)
Выражение (8) отражает процесс модуляции поднесущих информационными символами 
и определяет значение OFDM сигнала в моменты времени kT:
(9)
Анализ полученной системы позволяет выделить три момента:
1. процесс формирования поднесущих и их модуляция в рамках OFDM совмещены;
2. каждый символ модулирует только одну поднесущую;
3. в формировании каждого отсчета принимают участие все символы.
Процесс демодуляции OFDM сигнала основан на применении прямого дискретного преобразования Фурье DFT к сформированным на основе принятого сигнала временным отсчетам S(kT):
. (10)
Раскрыв выражение (9) получим систему из N уравнений, определяющих комплексные значения информационных символов 
:
(11)
Из полученной системы следует, что выделение символов 
реализуется суммированием на интервале Tu произведений значений OFDM сигнала на определенные экспоненты и возможно благодаря ортогональности системы, включающей комплексные экспоненты и функции, описывающие поднесущие.
Оценим величины ошибок, возникающих при OFDM модуляции и демодуляции по формулам (9) и (11) при использовании арифметических устройств с фиксированной запятой.
Для эффективного расчета комплексных коэффициентов DFT и IDFT, входящих в (9) и (11) на практике используется FFT и IFFT [11]. Основной операцией в FFT, IFFT является «бабочка», которая описывается следующими уравнениями:
, (12)
где А и В – входы «бабочки», 
и 
– ее выходы. Настроечный параметр 
, а также входы и выходы – комплексные. В реализации с фиксированной запятой вычисление «бабочки» выполняется с использованием действительной арифметики, поэтому 
и 
можно выразить в виде:
(13)
(14)
Из (13) и (14) следует, что вычисление по схеме "бабочка" требует четырех умножений и пяти действительных сложений. В реализации с фиксированной запятой каждое произведение в (13) и (14) требует для представления приблизительно вдвое большего числа битов, чем требуется для записи одного операнда по отдельности. Например, если переменные 
, 
, 
и 
представлены как 16 – битовые числа, то после умножения представление каждого произведения потребует 32 бит. Усечение или округление каждого произведения до прежних 16 бит порождает ошибку округления.
Таким образом, с каждой «бабочкой» можно связать четыре источника шума округления, по одному для каждого произведения. При этом, шум порождаемой “бабочкой” на каждом этапе, поступает на следующие этапы. В [1] показано, что в предположении о порождении всеми «бабочками» идентичных, но некоррелирующих ошибок, максимальная мощность шума (дисперсия) в каждом выходе FFT, IFFT равна:
, (15)
где B – длина слова системы в битах, N – размер FFT, IFFT.
Кроме этого, после сложения по формулам (13) и (14) возникают ошибки переполнения за счет роста размера данных после расчета каждой «бабочки». Для борьбы с ошибками переполнения используется механизм масштабирования. Одна из наиболее популярных схем масштабирования основана на наблюдении, что максимальный модуль выхода каждой «бабочки» увеличивается от этапа к этапу в два раза [1]:
. (16)
Из (16) следует, если входы «бабочки» умножить на коэффициент 0,5 в выходах не должно возникнуть переполнения, при условии, что амплитуда входных данных принадлежит диапазону разрешенных длин слов. Однако заметим, что в некоторых случаях, масштабирования с коэффициентом 0,5 недостаточно для предотвращения переполнения, даже если вход меньше единицы.
Результаты исследования и их обсуждение
Пусть 
– конечное поле Галуа, GN – циклическая группа порядка N, 
. Преобразованием Фурье-Галуа (ПФГ, ОПФГ-обратное преобразование Фурье-Галуа) будем называть преобразования сигнала 
вида:
,
. (17)
Аналогичные преобразования, определенные над конечным кольцом вычетов называют теоретико-числовыми преобразованиями (ТЧП).
ПФГ и ТЧП по своей структуре наилучшим образом реализуются с использованием цифровой элементной базы. Например, если взять ε в виде степени двойки, то умножение в (10) на степени 
при вычислении ПФГ, ТЧП заменяются сдвигами кодовых слов и приведением сдвинутых кодовых слов по модулю простого числа p.
С учетом (17) ПФГ, ТЧП модуляция поднесущих информационными символами Fn в моменты времени kT приобретает вид, аналогичный (9):
(18)
Процесс демодуляции ПФГ, ТЧП OFDM сигнала осуществляется прямым ПФГ, ТЧП к сформированным на основе принятого сигнала временным отсчетам S(kT):
(19)
Выбор значений p, ε, N целесообразно осуществлять под конкретную реализацию OFDM. В плане аппаратурной реализации, математические модели, определенные над конечными полями или кольцами, не являются альтернативой классическим моделям и могут быть реализованы с помощью обычных цифровых вычислительных машин (ЦВМ), ориентированных на решение задач цифровой обработки сигналов. Однако, реализация моделей будет более эффективной, если в ЦВМ арифметические операции конечных полей или колец (модульные операции) реализуются не программным, а аппаратурным путем. Для этого нет необходимости снабжать ЦВМ еще одним арифметическим устройством. Потребуется только расширение функциональных возможностей имеющегося арифметического устройства за счет модульных операций, так как обычные арифметические операции и модульные можно совместить при реализации в одном устройстве [3].
Заключение
Производительность систем OFDM, реализуемых с использованием преобразования Фурье и его быстрых модификаций ограничена числом битов, используемых в ее реализации. Основными источниками ошибок являются:
– округление произведений при вычислении «бабочки» по формулам (13) и (14), при этом, мощность возникающего шума прямо пропорциональна размеру FFT, IFFT;
– переполнение при сложениях по формулам (13) и (14), более того, в некоторых случаях, масштабирование данных не предотвращает ошибок переполнения.
В работе показана возможность и целесообразность использования ортогональных преобразований, определенных на алгебраических системах обладающих структурой конечного кольца или поля для систем связи с OFDM. Применение указанных преобразований позволит повысить производительность систем с OFDM за счет отсутствия ошибок округления произведений и переполнений при вычислениях по формулам (18) и (19) или «бабочки» в конечных кольцах или полях.