В ферромагнетике с анизотропией типа «легкая ось» нелинейная динамика намагниченности M (r, t) определяется уравнением Ландау–Лифшица [1–2]:
,
, (1)
где 
, 
– постоянные обменного взаимодействия и магнитной анизотропии вдоль выделенной оси 
; γ – магнитомеханическое отношение, t – время. Далее рассматривается квазиодномерный ферромагнетик:
,
где x – пространственная координата.
С помощью масштабных преобразований:
, 
, 
уравнение (1) сводится к виду
, 
. (2)
«Штрихи» над новыми переменными далее опускаем.
Решение уравнения Ландау–Лифшица (2), описывающее простейший прецессирующий солитон на фоне однородного основного состояния легкоосного ферромагнетика, хорошо известно: оно впервые получено непосредственным интегрированием в классической монографии [1]. В книге [2] изложена процедура нахождения точных солитонных решений уравнения (2) на основе метода обратной задачи рассеяния. В основе метода лежит задача сопряжения матричных аналитических функций комплексного переменного.
В данной работе представлены результаты численного эксперимента по возбуждению солитонов в рассматриваемой модели из локализованного начального распределения намагниченности. В рамках формализма обратной задачи аналитически установлена связь физических характеристик солитонов с параметрами исходного распределения, что позволяет генерировать солитоны с требуемыми свойствами.
Основные соотношения. Уравнение (2) равносильно условию совместности вспомогательной линейной системы [2]:
(3)
Здесь 
– матрицы Паули, ψ – матрица 
, коэффициенты 
подчинены ограничению: 
. Удобно использовать параметризацию:
, 
.
Нас интересуют решения уравнения Ландау – Лифшица (2) с граничными условиями:
при 
. (4)
Условия (4) соответствуют однородному равновесному распределению намагниченности:
.
Им отвечают фундаментальные решения вспомогательной линейной системы (3) с асимптотическим поведением:
при 
, (5)
при 
,
где
.
Множество Г={u : Im u = 0}, mod (2 π i) соответствует непрерывному спектру задачи (3), (5) [2]. На контуре Г фундаментальные решения Ψ1, 2(u) имеют осциллирующее поведение. Они определены одновременно и связаны между собой матрицей перехода:
Матрица перехода T(u) унимодулярна (det T = 1) и не зависит от x [2]. Для нее справедливо представление
(6)
Прецессирующий солитон в легкоосном ферромагнетике. Для солитонных решений модели (2) коэффициенты 
, в то время, как a(u) и 
являются мероморфными функциями в u – плоскости. Простейший прецессирующий солитон параметризуется комплексным нулем 
функции 
. Соответствующее точное решение можно записать в виде:
(7)
где 
, 
, 
, и для краткости введены обозначения:
, 
, 
, 
, 
, 
.
Ширина области резкого изменения намагниченности солитона l0 , скорость его движения V, волновой вектор p прецессии намагниченности в области локализации солитона, частота ω прецессии в лабораторной системе отсчета и частота Ω в системе отсчета, связанной с солитоном, имеют вид
,
При этом выполняются тождества
,
позволяющие выразить все физические характеристики солитона через два параметра: p и l0.
Комплексный параметр 
; 
, 
. Наиболее удобны для наблюдения неподвижные солитоны. Солитон (7) неподвижен в двух случаях: 
и 
. Случай 
следует считать выделенным. В центре такого солитона намагниченность не прецессирует и направлена в точности вдоль оси 
. При этом фазы вращения намагниченности левее и правее центра различаются на π [1, 2]. Это обстоятельство затрудняет его возбуждение.
При 
решение (7) принимает вид:
(8)
На всей протяженности солитона (8) фаза вращения намагниченности одна и та же. Компонента намагниченности S3 в центре солитона не достигает предельных значений ±1: 
(см. рис. 1).
Рис. 1. Компонета S3 и характер прецессии вектора S для неподвижного солитона (8)
Солитон (8) наиболее естественен: его проще всего возбудить в численном эксперименте.
Условие возбуждения неподвижного солитона. Формализм обратной задачи рассеяния позволяет получить условие возбуждения солитона (8). Зададим начальное возмущение в виде ступенчатого распределения намагниченности:
при 
,
при 
, (9)
при 
.
Подобное распределение можно задать кратковременным включением внешнего магнитного поля вдоль направления 
,
.
Параметр γ=const задает амплитуду намагниченности в перемагниченной области шириной 
.
Следуя той же схеме, что и в работах [3–5], запишем решение первого уравнения (3), соответствующее распределению намагниченности (9). Оно имеет вид
при 
,
при 
,
при 
,
где
,
, 
Постоянные матрицы С1, С2 находятся из условия непрерывности функции 
в точках 
.
Начальное возмущение (9) распадается на солитоны, только если элемент 
матрицы перехода (6) имеет нули в области своей аналитичности. В этом случае матрица T(u) не зависит от времени [2]. Потому, согласно (6), имеем:
. (10)
Из (10) следует, что требование обращения в нуль функции 
сводится к трансцендентному уравнению
(11)
Значения d, γ, при которых уравнение (11) имеет вещественный корень 
, 
, соответствуют условиям формирования неподвижного солитона (8). Величина ρ определяет физические характеристики такого солитона – его ширину, частоту пульсаций и отклонение намагниченности в его центре от равновесного значения 
. Выражение (11) дает качественную оценку зависимости ρ от параметров начального возмущения, близкую к результатам численного эксперимента.
Связь характеристик солитона с параметрами начального возмущения. Будем понимать под высотой начального импульса (9) h отклонение компоненты 
от равновесного значения +1:
.
На рис. 2, рис 3 приведены численные и аналитические зависимости 
. Жирные точки на рис. соответствуют данным численного эксперимента, сплошные линии построены по формуле (11).
Результаты численного счета говорят о том, что с изменением ширины d начального импульса при его фиксированной высоте h солитон (8) рождается из распределения (9) пороговым образом. Локализованное возмущение малой ширины не порождает солитона: при 
начальный импульс (8) произвольной высоты расплывается на диспергирующие спиновые волны. С ростом ширины возмущения (в интервале значений 
) из начального импульса (9) формируется неподвижный солитон (8) с центром в его середине. Высота такого импульса 
может быть сколь угодно малой: в пределах погрешности счета не удалось обнаружить ее минимальное значение.
Изображенная на рис. 2 зависимость ρ от высоты 
начального возмущения при его фиксированной ширине 
почти линейна. При фиксированной высоте h величина ρ монотонно возрастает с ростом ширины начальной ступеньки, меняясь в пределах:
.
Задание начального импульса небольшой высоты (
) и значительной ширины (
) ведет к интересному результату. Тогда возмущение (9) сначала сужается до значения 
, сбрасывая излишек энергии в виде диспергирующих волн, а затем из него также формируется неподвижный солитон (8). В соответствии с этим, при больших 
зависимость
на рис. 3 становится пологой.
Рис. 2. Зависимость 
при значениях 
Рис. 3. Зависимость 
при значениях 
Заключение
Численное моделирование показывает, что при условии 
значение 
является порогом, по превышении которого (при 
) начальное возмущение (9) порождает два одинаковых солитона (7), движущихся в противоположных направлениях. С дальнейшим увеличением ширины импульса d значение его высоты h, необходимое для формирования двух солитонных состояний, несколько снижается: так при 
два солитона формируются из начального возмущения высотой 
, что соответствует значениям 
.
Уравнение (11) не позволяет установить пороговое значение h , при котором рождаются два солитона (7). Вместе с тем, рис. 2, 3 убеждают нас, что полученная оценка (11) зависимости параметра ρ солитона (8) от высоты и ширины начального импульса находится в хорошем согласии с численным экспериментом и может быть использована для генерации неподвижных солитонов с требуемыми характеристиками.
В заключение заметим, что при формировании прецессирующих солитонов в легкоосном ферромагнетике энергия начального возмущения (9) перераспределяется между компонентами намагниченности. Это приводит к тому, что ни ширина d, ни проекция 
начального возмущения в области 
не совпадают с таковыми у результирующего солитона.
Авторы выражают благодарность В.В. Киселеву за обсуждение результатов работы и полезные замечания.
Работа выполнена в рамках проекта УрО РАН №15–8–2–7 «Локализованные структуры, солитоны и их возбуждение в конденсированных средах».