Теория фракталов применяется при описании структуры неупорядоченных сред, например пористых сред, и описании протекающих в таких средах процессов. Движение примеси в потоке однородной жидкости описывается с использованием дифференциального уравнения дробного порядка [7]. Язык дробных производных применен при описании физических процессов стохастического переноса [9], при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [1]. Диффузии дробного порядка посвящена работа [3]. Методам численного решения многомерного уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы [5, 6, 10]. Задачи с сосредоточенной теплоёмкостью определённой величины на границе изучены в [8].

В данной работе рассматривается уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами с дробной производной по времени с сосредоточенной теплоёмкостью определённой величины.

Постановка задачи. Устойчивость

В области будем рассматривать уравнение теплопроводности с дробной производной по времени с сосредоточенной теплоемкостью вида

,

, (1)

(2)

, x ≥ 0, (3)

где – регуляризованная дробная производная порядка α, где . Коэффициенты удовлетворяют условиям: , . Устойчивость решения задачи (1)–(3) будем доказывать с помощью известного метода энергетических неравенств [8]. Для чего уравнение (1) умножаем на u(x, t) скалярно и получим тождество

(4)

В (4) скалярное произведение определено по формуле и норма через него . Первое и второе слагаемые в (4) нам дадут

. (5)

Для третьего слагаемого в (4) применяем интегрирование по частям:

.

Принимая во внимание граничные условия (2), из последнего можем записать:

. (6)

В (6) к слагаемым , , , применяется известное неравенство из [4, с. 172]. Первое и четвертое выражения в правой части (6) перепишем в виде

, .

Интеграл в правой части (6), четвёртый и пятый интегралы в тождестве (4) равны соответственно

, ,

. (7)

Поскольку интеграл , то, пренебрегая им в левой части (4) (неравенство только усилится), с учётом (5)–(7) получаем

. (8)

Полученное неравенство (8) теперь будем интегрировать по τ от 0 до t. С учетом начального значения (3) получаем для первого слагаемого:

. (9)

Для третьего и четвёртого выражений получим:

,

. (10)

К выражениям , также будем применять неравенство из [4, с. 172], а с учетом условия (3) запишем: , . Для пятого, шестого и седьмого интегралов имеем

, , . (11)

Учитывая (9)–(11) из (8) имеем

. (12)

Сделаем обозначение в последнем неравенстве: и потребуем, чтобы выполнялось неравенство . Также заметим, что , ввиду условий , , . С учетом этого, сократив неравенство на 1/2, из (12) будем иметь

. (13)

В (13) обозначим

.

Тогда из (13) можем записать

. (14)

Введем в (14) обозначение: , с учетом которого неравенство (14) перепишется в виде . Далее, применяя лемму 1.1 для нестационарных задач ([4], стр.152), из последнего неравенства можем иметь неравенство: . Теперь, учитывая последнее неравенство и введённые выше обозначения, записываем:

. (15)

Учитывая (15), из неравенства (13) получаем неравенство:

, (16)

здесь M(t) – величина положительная, которая зависит от коэффициентов уравнения (1) и размеров области QT. Из полученной априорной оценки (16) можем сделать вывод, что решение задачи (1)–(3) устойчиво по начальному значению, граничным данным и правой части.

Разностная схема

Будем предполагать в дальнейшем, что решение задачи обладает требуемой по ходу изложения гладкостью. В замкнутой области строится сетка

,

где , , – шаг сетки по переменной x, N – число разбиений по x, – шаг сетки по переменной t, j0 – число разбиений по t. Для уравнения (1) запишем разностное уравнение с параметром в виде

(17)

где σ – параметр, , , , , , – дискретный аналог дробной производной, . В классе достаточно гладких функций u(x, t) справедливо равенство: (Шхануков М.Х. Доклады РАН. – 1996. – Т. 348. С. 746–748). Разностное уравнение (17) аппроксимирует уравнение (1) с точностью O(h² + τ).

Аппроксимацию при x = 0 краевого условия (2) , дающую точность O(h + τ), повышаем, следуя [8], до порядка O(h² + τ). Получаем

,

где , . Аналогично, для (2) при x = l получаем

,

где , .

Итак, разностный аналог задачи (1)–(3), дающий точность O(h² + τ), запишется в виде

, (18)

, (19)

, (20)

, , (21)

где , , , , .

Для достижения порядка аппроксимации при построении разностной схемы потребовалась достаточно высокая гладкость решения , для чего необходимо .

Устойчивость разностной схемы

Для доказательства устойчивости построенной разностной схемы будем пользоваться принципом максимума. Для этого разностную схему (18)–(21) приведем к каноническому виду [8, с. 228]:

(22)

где ω – сетка связная; Ш′(Р) – окрестность узла P, не содержащая сам узел P, F(P) – известная правая часть. Для коэффициентов (22) должны выполняться условия: A(P) > 0 для всех P∈ω; B(P, Q) > 0 для всех P, Q∈ω; Р∈ω. Рассмотрим случай σ = 1. Тогда (22) имеет вид: . Расписав в индексной форме с учётом того, что , , имеем

.

Здесь коэффициенты:

,

, .

Выполняются условия:

A(P) > 0, B(P, Q) > 0, . (23)

В точке для (23) будем иметь

.

Здесь коэффициенты равны

,

, .

С учетом неравенств , имеем выполнение условий на коэффициенты:

A(P) > 0, B(P, Q) > 0, . (24)

Аналогично, в точке для граничного условия (20) имеем

.

Здесь коэффициенты имеют вид

,

, .

С учетом условий , имеем выполнение условий:

A(P) > 0, B(P, Q) > 0, . (25)

Из неравенств (23)–(25) на основании теоремы 3 [8, с. 228], для разностной задачи (18)–(21) следует справедливость оценки в норме пространства С: , откуда следует устойчивость решения разностной схемы в равномерной метрике.