Общая постановка и вариационый подход решения нестационарной задачи распространения тепла в стержне при воздействии теплового потока и в условиях теплообмена рассмотрены в [1]. Согласно этому подходу определяется аппроксимация температур T и вычисляется выражение

, (1)

где – часть тепла, которая уходит на повышение внутренней энергии; – внутренние источники энергии; – член, учитывающий нестационарность задачи; – количество поступающего тепла; – количества тепла, уходящего через поверхность стержня.

Здесь введены следующие обозначения:

q – тепловой поток (Bт/см2);

T – температура (0С);

S – площадь поперечного сечения стержня (см2);

– температура окружающей среды (÷С);

λ=ρc – коэффициент температуропроводности (Bт/(см2•0С));

h – коэффициент теплоотдачи (Bт/(см2•λ=ρcС));

– коэффициент теплопроводности материала (Bт/(см•0С));

Q – источник тепла внутри тела (Bт/(см•0С));

ρ – плотность (кг/см2);

c – удельная теплоемкость (Bт/(кг•0С)).

При линейной аппроксимации температуры T стержня длиной L с температурами на концах (Т1, Т2) имеем

.

Откуда

. (2)

Первое выражение (1) для стержня длиной 2L с температурами на концах (Т1, Т2) и в середине Т2 имеет вид

. (3)

Выражение для левого конца стержня:

(4)

Поток тепла на правом конце стержня равен

(5)

Так как боковая поверхность стержня не теплоизолирована, вычислим член для двух интервалов:

(6)

В нестационарном случае, подставляя производную T по t из (2) в соотношение , получим

+. (7)

Тогда выражение (1) можно записать в виде

.

Определяя производные от I по T1, T2 и Т3 и приравнивая к нулю, получим систему дифференциальных уравнений:

(8)

Рассмотрим теперь метод взвешенных невязок, а точнее, метод Галеркина.

Общее уравнение теплопроводности стержня имеет вид

, (9)

при ограничениях

=0. (10)

Решим уравнение (9) при ограничениях (10) методом Галеркина с использованием линейной аппроксимации температуры на двух интервалах и . Для первого интервала имеем

, =, . (11)

Согласно методу Галеркина [2] решение задачи (9) при ограничениях (10) должно удовлетворять уравнению:

– +=0. (12)

Первый интеграл преобразуем следующим образом:

=–. (13)

Вычислим второй интеграл выражения (13):

==

==. (14)

Вычислим первый интеграл выражения (13) с использованием формулы Остроградского-Гаусса. Имеем

=, (15)

где – нормаль к поверхности.

Уравнение (15) для левого конца стержня, исходя из граничного условия

=0, (16)

имеет вид

==. (17)

А на правом конце стержня, учитывая граничное условие

=0, (18)

имеем

=–hs+hs. (19)

Если тепло уходит через боковую поверхность, то граничное условие (18) имеет вид

.

. (20)

Вычислим третий член в уравнении (12).

. (21)

Формулы (14), (17), (19)–(21) позволяют получить следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

+–+

+ – +=0. (22)

Уравнение (14) можно преобразовать к виду

.

Если возьмем два интервала, то для первого имеем

,

а для второго интервала:

.

Объединяя эти две системы линейных дифференциальных уравнений, получим (8).

Таким образом, вариационный подход и метод Галеркина при решении нестационарной задачи распространения тепла в стержне приводят к одинаковым системам дифференциальных уравнений и, следовательно, к одинаковым решениям.