Накопленный к настоящему времени экспериментальный материал по изучению ранней стадии перехода от ламинарного к турбулентному режимам обтекания стимулирует создание новых и применение уже имеющихся методов математического моделирования этого важного этапа потери устойчивости сверхзвукового потока. В последние годы проводится углубленное изучение ряда методов эволюции возмущений в сверхзвуковых пограничных слоях сжимаемого газа. Эти работы можно разделить на две группы. В первой группе развиваются методы прямого численного моделирования систем уравнений в частных производных. Во второй расчеты проводятся в рамках традиционного метода возмущений, сводящегося к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений для средних характеристик и малых возмущений. Далее применяются положения слабонелинейной теории устойчивости, и исследования проходят на основе модельного подхода изучения взаимодействия в трехволновых системах (триплетах). Физическое обоснование такого моделирования заключается в изучении эволюции одной волны в силовом поле двух других волн, проходящее в условиях синхронизации их фаз.

Амплитудные уравнения для таких трехволновых систем получены при использовании стандартной процедуры осреднения и условия разрешимости [1].

Связь теории и эксперимента проходила в тесном сотрудничестве расчетной группы с исследовательским коллективом экспериментаторов, работающих на сверхзвуковой малотурбулентной аэродинамической трубе Т-325 ИТПМ им. С.А. Христиановича СО РАН, где уже длительное время изучают состав и продольную динамику как вводимых искусственно (контролируемых), так и естественных возмущений [2].

К настоящему времени первый раздел достаточно изучен – при невысоком начальном уровне возмущений реализуется субгармоническая неустойчивость, закономерности которой качественно и количественно описываются нелинейной моделью взаимодействия в резонансных триадах [1]. В отличие от первого, раздел изучения динамики естественных возмущений значительно менее популярен и соответственно – исследован.

В настоящее время четко установлено, что динамика развития естественных возмущений отличается от динамики развития контролируемых. Для них фиксируется широкий спектр частот при полном отсутствии данных об азимутальном составе компонент спектра, а перераспределение энергии осуществляется не только в субгармоническую область, но и в область высоких частот (обертонов). В этих условиях наряду с рассмотрением синхронизованных частотных триплетов возникает необходимость удовлетворить условиям фазового синхронизма и по азимутальным волновым числам.

Работа проведена в два этапа. Предварительно была подробно изучена принципиальная возможность моделирования взаимодействия в триплетах естественных возмущений произвольного азимутального состава. На втором этапе последовательно изучены взаимодействия в так называемых групповых триплетах, составленных из нескольких простых. В окончательном варианте, который представлен в данной работе, задействовано 12 синхронизированных частот, общее число простых триплетов, входящих в групповой, равнялось 36. Моделировались два набора синхронизованных азимутальных чисел, в которых основными несущими компонентами являются трехмерные волны, имеющие максимальные инкременты внутри нейтральной кривой при начальных числах Рейнольдса Re = 300 и 600.

Параметры [2] являлись отправными при расчетах – рассмотрен пограничный слой на непроницаемой теплоизолированной пластине под нулевым углом атаки при числе Маха М = 2, γ = 1,4, температуре торможения 310 К, числе Прандтля s = 0,72 и единичном числе Рейнольдса Re1 = 12,5×106 m-1. Интервал продольных чисел Рейнольдса соответствовал экспериментальному, введено расчетное число Рейнольдса .

Основные соотношения и методы решения

Основные положения нелинейной модели взаимодействия возмущений в трехволновых резонансных системах в пограничных слоях сжимаемого газа подробно изложены в [1]. Необходимо перечислить основные положения используемого метода возмущений. Рассматривается возмущенное поле скоростей плотности давления = и температуры сжимаемого газа, в безразмерных координатах (X, Y, Z) = (x, y, z)/δ (δ = – характерный линейный масштаб). Здесь ε – масштаб пульсационного поля (ε << 1); e – индекс параметров на внешней границе; величины со штрихами и без штрихов – пульсационные и средние величины). Решение строится с помощью двухмасштабного разложения продольной координаты, вводятся «быстрый» и «медленный» масштабы (X и ξ = εX), характеризующие разницу скоростей изменения фазы и амплитуды возмущений.

Решения для волн записываются в виде суперпозиции линейных компонент и составляющих более высокого порядка

j = 1, 2, 3,

где , A – медленно меняющаяся амплитуда; к.с. – комплексно-сопряженные величины; – инкремент; частота – вещественная величина; волновые числа α, β и частота связаны дисперсионным соотношением α = α(ω, β) линейной теории.

Краевые условия для возмущений – условия прилипания {u, v, w, Θ} = 0 при Y = 0, и условия ограниченности {u, v, w, Θ} > 0 при Y > ∞. Для возмущений первого порядка из так называемой системы Дана – Линя [1] находятся собственные значения α при заданных β, ω и Re, а также собственные амплитудные функции линейных волн (1).

Во втором порядке по ε согласно слабонелинейной теории, используя высшие гармоники (1), определяют амплитуду волны A. В основе резонансной модели лежит процесс попарного взаимодействия волн в поле третьей волны в условиях синхронизации их фаз . Для простой трехволновой системы j, k, l волн амплитудные уравнения имеют вид

где Δ – коэффициент фазовой синхронизации; – решения сопряженных к системе Дана – Линя уравнений, Q – нелинейные члены. Начальные значения амплитуд Aj задавались через начальные интенсивности I волновых компонент. Вводились безразмерные частотный параметр F (ω = ReF) и азимутальное волновое число b = 103β/Re. Рассматривались 3D (трехмерные) волны с b ≠ 0.

Результаты исследования и их обсуждение

Приведем амплитудно-частотные спектры естественных возмущений, полученных в Т-325 экспериментальной группой (А.Д. Косинов, Н.В. Семенов, Ю.Г. Ермолаев). Спектры получены для разных диапазонов частот в широкой полосе Re. Они характеризуются отсутствием ярко выраженных преобладающих компонент, более высокими начальными амплитудами низкочастотных составляющих и преобладающим ростом высокочастотных компонент вниз по потоку. Диапазон применимости слабонелинейного приближения оценивается 600 < Re < 900. При моделировании динамики естественных возмущений были рассмотрены два частотных диапазона. Узкий диапазон частот охватывал полосу (2,5 ≤ f ≤ 30) кГц с шагом Δf = 2,5 кГц. Это соответствовало безразмерным частотным параметрам (0,048 < F < 0,576) 10–4.

Большой диапазон (5 ≤ f ≤ 60) кГц (0,096 < F < 1,152) 10–4 пройден с шагом Δf = 5 кГц.

Второй крайне важной особенностью являлась необходимость синхронизовать в триплетах не только частоты ω, но и азимутальные волновые числа β, при полном отсутствии данных об их реальных значениях. Для синхронизации по β необходимо решать алгебраическую систему на совместность. При этом возникает один свободный азимутальный номер, через который определяются остальные.

Такой определяющей компонентой выбрана волна на частоте f = 20 кГц с азимутальным волновым числом 2b = 0,16. В процессе расчета моделировалось также несколько других вариантов. В представленной таблице показаны комбинации частот и волновых чисел, признанных оптимальными, а на рис. 2 показаны инкременты этих компонент при Re.

На рис. 3 показано сравнение результатов моделирования и экспериментальных данных в слабонелинейной области для двух вариантов начальных значений интенсивности разных компонент. Результаты оказались в достаточной степени близки друг другу и экспериментальным данным (Косинов, Семенов, Ермолаев), что свидетельствует об адекватности рассматриваемой модели истинному процессу эволюции естественных вихревых возмущений при умеренном сверхзвуковом числе Маха М = 2.

Полные распределения спектров для всех чисел Рейнольдса показаны на рис. 4. Качественное сопоставление этих расчетных спектров можно сделать с данными рис. 1.

На рис. 5 показаны спектры узкого диапазона частот при другом выборе несущей частоты (не 20, а 15 кГц). Как видно из сравнения рис. 3 и 5, такая перенормировка не слишком сказывается на характере продольной динамики спектральных компонент – по-прежнему сильнее растут высокочастотные компоненты и следует ожидать, что при больших Re картины станут адекватны.

Определенные усилия были предприняты для понимания того, каким образом формируется в эксперименте начальный спектр при Re = 600, Для этого расчеты были перенесены в более устойчивую область при низком Re0 ~ 300, и изучалась продольная динамика возмущений при разных начальных интенсивностей в Re0. Было рассмотрено несколько вариантов разных комбинаций:

а. I(F, b, Re0) = const,

в. I(F, b) = exp(-αi Re0),

с. I(F1, b1) = 10k, (F12, b12) = 10k-1,

d. различные комбинации a–c.

Поставленная цель не была достигнута, и вопрос так и остается вопросом, ждущим исследования. В целом можно констатировать, что, хотя рассмотренная модель взаимодействия возмущений в рамках трехволновых резонансных систем является первым шагом в описании динамики естественных волн в слабонелинейной области развития и сильным упрощением реальных нелинейных процессов, она отражает ряд важных особенностей и адекватна истинному процессу. Конечно, в дальнейшем эксперименты должны дать ряд более точных определяющих параметров, которые позволят приблизить моделирование к реальному процессу.

Работа поддержана РФФИ (код проекта № 15-01-00866а).