Введение

Приведение дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных более высокого порядка к интегральным уравнениям (ИУ) является сложной задачей. В настоящее время для приведения таких уравнений в ИУ или системы ИУ используется метод дополнительного аргумента (МДА). Чтобы использовать указанный метод, авторы должны преобразовать начальную задачу в удобную для них дифференциальную форму. Такие применения использовались для уравнений второго порядка в работах [1, 2].

Цель исследования – приведение заданного ДУ в частных производных четвертого порядка к системе ИУ новым методом, не приводя уравнения к каноническому виду, и исследование решения системы ИУ.

Материалы и методы исследования

Приведение ДУ в частных производных второго порядка в систему ИУ, не приводя заданного уравнения к каноническому виду, рассмотрено в работах [1, 2]. Сведение осуществлено с помощью МДА.

МДА значительно облегчит численное решение нелинейных начальных задач [3]. МДА применяется при решении систем уравнений в частных производных [4, 5].

В работе используются решения следующих ИУ:

(1)

(2)

где p(s,t,x), q(s,t,x) – неизвестные функции, a(x) – заданная достаточно гладкая функция. ИУ видов (1), (2) с заданной гладкой функцией имеют единственные решения.

В данной работе использованы классы функций введенные в [6, 7].

Рассматривается задача Коши вида

(3)

(4)

где

Для приведения данной задачи Коши (3), (4) к системе ИУ используются следующие обозначения:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

С помощью обозначений (5)–(9) запишем уравнение (3) в следующем виде:

(10)

Теорема. Пусть

Тогда задача (3), (4) сводится к решению систем ИУ относительно неизвестных :

(11)

(12)

где

Доказательство

Доказательство теоремы проводится в три этапа. Авторы также используют результаты работ [1, 2, 6].

I. Из (5), (6) и из начальных условий (4) получается следующая система ИУ:

(13)

, (14)

В самом деле, если u(t,x) – решение системы ИУ (13), (14), то, дифференцируя (13), имеем

(15)

Из (15), учитывая введенные выше обозначения, получаем (6), (5).

Таким образом, авторы из (13), (14) получили (5), (6).

Теперь, наоборот, рассматривается получение системы ИУ (13), (14) из (5), (6).

Для использования МДА запишем (5) в следующем виде:

(16)

где

Для задач (16), (4) и (6), (4) применяем МДА и получаем систему ИУ (13), (14). Такие применения МДА приведены в работах [1, 2, 6].

II. Из (6), (7) и из начальных условий (4) получаем систему ИУ:

(17)

. (18)

Пусть являются решениями системы ИУ (17), (18). Тогда, дифференцируя (17), получаем (7).

(19)

Из (19) получаем справедливость уравнения (6).

Следовательно, авторы из (17), (18) получили (6), (7).

Теперь, наоборот, авторы должны показать, что из (6), (7) следует справедливость системы ИУ (13), (14).

Далее, записывая (6) в следующем виде, используем стандартное применение МДА:

(20)

где

Следует отметить, что новизной данной работы является способ записи (7) в виде (20).

Следовательно, после применения МДА для задач (20), (4) и (7), (4) получаем (17), (18).

В уравнение (13), (17), подставляя (14) и (18), получаем (11), (12).

III. Cистема ИУ (11), (12) имеет единственное решение в T* > 0 определяется из данных задачи (3), (4).

Используем векторную запись системы (11), (12):

θ = Aθ, (21)

где θ = (θ1, θ2) – вектор-функция переменных (t,x), , , а компоненты оператора А = (А1, А2):

где

Применяем принцип сжатых отображений, полагая и используя норму

При Т < Т* в справедливы оценки:

где

Обозначим через Т1, Т2 – соответственно корни уравнений:

Оператор А будет оператором сжатия в . В самом деле если имеют компоненты, то имеем

где

Пусть Т3, Т4 – корни уравнений

Тогда при оператор А является оператором сжатия, следовательно, (20) имеет единственное решение.

Определив единственное решение уравнения (21), можно подставить его в (14) и получить единственное решение поставленной задачи (3), (4).

Заключение

Рассмотрено дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка, нелинейное относительно неизвестной функции с начальными условиями. Поставленная задача сведена к решению систем ИУ. Результаты получены с использованием метода дополнительного аргумента и принципа сжатых отражений.