О численном методе, алгоритме и комплексе программ моделирования волн напряжений

В работах [1–10] приведена информация о нестационарных волнах напряжений в сложных деформируемых телах.

При динамическом и импульсном воздействии в сооружении распространяются волны напряжений.

Для решения задачи о моделировании нестационарных упругих волн в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело Г в прямоугольной декартовой системе координат ХОУ, которому в начальный момент времени t = 0 сообщается механическое воздействие. Предположим, что тело Г изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях.

Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид

, ,

,

,

, ,

, ,

, , (1)

где σ_x, σ_y и τ_xy – компоненты тензора упругих напряжений;

ε_x, ε_y и γ_xy – компоненты тензора упругих деформаций;

u и v – составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей ОХ и OУ соответственно;

ρ – плотность материала;

– скорость продольной упругой волны;

– скорость поперечной упругой волны;

v – коэффициент Пуассона;

Е – модуль упругости;

– граничный контур тела Г.

Систему (1) в области, занимаемой телом Г, следует интегрировать при начальных и граничных условиях.

Для решения двумерной плоской динамической задачи теории упругости с начальными и граничными условиями – используем метод конечных элементов в перемещениях. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов. Чтобы выполнить динамический расчет методом конечных элементов, нужно иметь матрицу жесткости и матрицу инерции конечного элемента.

Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости

, , , (2)

где – матрица инерции;

– матрица жесткости;

– вектор узловых упругих перемещений;

– вектор узловых упругих скоростей перемещений;

– вектор узловых упругих ускорений;

– вектор узловых упругих внешних сил.

Соотношение (2) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.

Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями привели к линейной задаче Коши (2).

Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду

, . (3)

Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек

,

. (4)

где ∆t – шаг по временной координате.

Система уравнений (2) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости, должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы (1).

Шаг по временной переменной ∆t определяем из следующего соотношения

, (5)

где ∆l – длина стороны конечного элемента.

Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы.

Некоторая информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [1–2, 4–6, 8, 10].

Решение задачи о воздействии плоской продольной упругой волны в виде треугольного импульса на бесконечную полосу

Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной упругой волны в виде треугольного импульса (рис. 1) на бесконечную полосу (рис. 2).

Рис. 1. Воздействие в виде треугольного импульса

На границе пластинки (рис. 2) приложено нормальное напряжение σ_y (рис. 1), которое при 1 ≤ n ≤ 3 (n = t/∆t) изменяется линейно от 0 до P, а при 3 ≤ n ≥ 5 от P до 0 (P = σ₀, σ₀ = – 0,1 МПа). Граничные условия для контуров BC и AD при t > 0 . Отраженные волны от контуров BC и AD не доходят до исследуемых точек. Контур CD свободен от нагрузок. Исследуемая расчетная область имеет 4002 узловые точки. Решается система уравнений из 16008 неизвестных.

Рис. 2. Постановка задачи о стоячих волнах в бесконечной полосе

Рис. 3. Нормальное напряжение во времени 0 ≤ n ≤ 100 в точке B1

Рис. 4. Нормальное напряжение во времени 0 ≤ n ≤ 500 в точке B1

Рис. 5. Нормальное напряжение во времени 0 ≤ n ≤ 1990 в точке B1

Рис. 6. Нормальное напряжение во времени 0 ≤ n ≤ 100 в точке B1

Рис. 7. Нормальное напряжение во времени 0 ≤ n ≤ 500 в точке B1

Рис. 8. Нормальное напряжение во времени 0 ≤ n ≤ 1990 в точке B1

Для примера на рис. 3–5 представлено изменение нормального напряжения () во времени n в точке B1.

Для примера на рис. 6–8 представлено изменение нормального напряжения () во времени n в точке B1.

Получены нормальные напряжения в характерной области бесконечной полосы. Отраженные волны от свободных поверхностей бесконечной полосы создают физическую картину стоячих волн.