Совокупность матриц из предельно диагонализуема, если существует такая последовательность матриц Ap∈GL(Cn), , что все матрицы являются диагональными для всех X из совокупности. Будем предполагать, что совокупность матриц образуют алгебру Ли G.

Теорема. Для того чтобы алгебра G была предельно диагонализуемой необходимо и достаточно, чтобы алгебра G была разрешимой.

Доказательство необходимости основано на теореме Леви-Мальцева [1] о разложении алгебры в прямую сумму радикала алгебры и полупростой подалгебры алгебры.

Для доказательства достаточности используется существование базиса в , в котором все матрицы из G имеют нижнетреугольный вид (теорема Ли). Матрицы вида , образуют искомую последовательность. Матрицы представляются в виде

,

где диагональная матрица, и значит

= ,

матрицы имеют вид

и при стремятся к нулевой матрице.