Целью работы является выявление из всего спектра упругих волн, распространяющихся в цилиндрической оболочке, заполненной сжимаемой жидкостью, волн преимущественно структурного и преимущественно жидкостного характера.
Следуя [4, 5, 6], будем искать решения системы динамических уравнений равновесия в перемещениях, учитывающей наличие жидкости внутри оболочки, в виде:
, (1)
где z – продольная безразмерная координата, Ω – частота, k – приведённое осевое волновое число, m – фиксированное число окружных волн.
Выбор перемещений в виде (1) означает, что чисто мнимые значения k соответствуют распространяющимся волнам. Из пары волн, распространяющихся в противоположных направлениях, будем рассматривать только одну, распространяющуюся (
) в направлении оси 0z.
Система уравнений для амплитуд перемещений в матричной форме принимает вид:
, (2)
где
,
,
,
,
, 
,
ω – приведённая частота, 
, 
, ρ, ρfl – плотности оболочки и жидкости, h – толщина, R – срединный радиус оболочки, E, v – упругие константы.
«Жидкостная» компонента в L33 имеет вид при m ≥ 1:
для несжимаемой жидкости и
для сжимаемой,
где c, cfl – скорости звука в оболочке и в жидкости соответственно.
В частном случае осесимметричных колебаний m = 0:
для несжимаемой жидкости,
для сжимаемой жидкости.
Дисперсионные кривые для случаев осесимметричных m = 0 и изгибных колебаний m = 1 были показаны в работах [1] и [2]. Для сжимаемой жидкости они впервые получены, по-видимому, в [4].
Оболочка со сжимаемой жидкостью представляет собой единую двухкомпонентную систему, в которой нельзя рассматривать по отдельности волны в оболочке и волны в жидкости. Они всегда взаимосвязаны. Однако возможно выяснить за счет чего в большей мере распространяется волна (т.е. передается энергия), за счёт оболочки или за счёт жидкости, то есть подразделить распространяющиеся волны на волны преимущественно жидкостного и преимущественно структурного характера распространения.
Для получения этого нового результата сопоставляются дисперсионные кривые для оболочки со сжимаемой и с несжимаемой жидкостью. Волны, распространяющиеся в оболочке с несжимаемой жидкостью, исключительно структурные, так как в несжимаемой жидкости волны не распространяются. Поэтому на тех частотных интервалах, где дисперсионные кривые для оболочки со сжимаемой и с несжимаемой жидкостью совпадают, волна преимущественно структурная. Для выявления преимущественно жидкостных волн сопоставляются дисперсионные кривые для оболочки со сжимаемой жидкостью и для абсолютно жёсткого цилиндрического волновода со сжимаемой жидкостью, являющегося математической моделью оболочки очень большой жёсткости. В абсолютно жестком волноводе волны распространяются исключительно за счёт сжимаемой жидкости. Поэтому совпадение на некоторых частотных интервалах дисперсионных кривых в этом случае означает, что волна преимущественно жидкостная.
На рис. 1 представлены дисперсионные кривые для неосесимметричных режимов колебаний (m = 2 и m = 3).
Наблюдение за графиками показывает, что для этих двух режимов волна, описываемая красной дисперсионной кривой 1, всегда преимущественно структурная, а волна, описываемая синей дисперсионной кривой 2, всегда преимущественно жидкостная. Волна, описываемая розовой дисперсионной кривой 4, переходит на частоте ω = 2.15 при m = 2 и ω= 2.55 при m = 3 из преимущественно структурной в преимущественно жидкостную. Волна, описываемая голубой дисперсионной кривой 5, зарождается, как преимущественно жидкостная, но остаётся таковой только до частоты ω = 2.15 при m = 2 и ω = 2.55 при m = 3.
img src="/i/2016/10-2/terak1_fmt.jpg" alt="terak1.tif" />
Рис. 1. Дисперсионные кривые для неосесимметричных режимов колебаний
Рис. 2. Дисперсионные кривые для осесимметричных и изгибных колебаний
На рис. 2 представлены дисперсионные кривые для режимов осесимметричных колебаний (m = 0) и изгибных колебаний (m = 1).
Ввиду наибольшего практического интереса к этим двум режимам, результаты анализа дисперсионных кривых представим в табличной форме (табл. 1 и 2). Рассматривались частотные интервалы 
для осесимметричного режима колебаний (m = 0) и 
для случая изгибных колебаний (m = 1).
Отметим, что в зонах сближения дисперсионных кривых (veering) как раз и происходит изменение механизма распространения волн и обмен энергией между оболочкой и жидкостью (см. [3]). Это особенно удобно проследить по правому рис. 2 для четвёртой распространяющейся волны (розовая линия), которая на частоте ω ≈ 1,8 переходит из преимущественно структурной в преимущественно жидкостную.
Практическое значение данного исследования в том, что колебания, передаваемые самой оболочкой (т.е. волны структурного происхождения), можно ослабить за счёт применения внешних устройств. Бороться с колебаниями, передаваемыми жидкостью, таким образом невозможно.
Таблица 1
Жидкостные и структурные волны в режиме осесимметричных колебаний
|
№ п/п |
Цвет линии |
Частотные диапазоны, в которых волна преимущественно структурная |
Частотные диапазоны, в которых волна преимущественно жидкостная |
|
1 |
красный |
(0.7, 2) |
|
|
2 |
синий |
(0, 2) |
|
|
3 |
зелёный |
(0, 0.85) |
|
|
4 |
розовый |
(0, 0.6); (0.85, 1.3) |
(1.3, 2) |
|
5 |
голубой |
(1, 1.2); (1.3, 1.7) |
(1.2, 1.3) |
|
6 |
коричневый |
(1.2, 1.3); (1.7, 2) |
(1.15, 1.2) |
|
7 |
оранжевый |
(1.75, 2) |
Таблица 2
Жидкостные и структурные волны в режиме изгибных колебаний
|
№ п/п |
Цвет линии |
Частотные диапазоны, в которых волна преимущественно структурная |
Частотные диапазоны, в которых волна преимущественно жидкостная |
|
1 |
красный |
(0, 3) |
|
|
2 |
синий |
(0.55, 3) |
|
|
4 |
розовый |
(1.45, 1.8) |
(1.8, 3) |
|
5 |
голубой |
(1.45, 1.65) |
(1.65, 1.8) |
|
6 |
зелёный |
(2.2, 3) |
(1.6, 1.65) |
|
7 |
оранжевый |
(2.2, 2.7) |
(2.7, 3) |
|
8 |
серый |
(2.6, 2.7) |
Выводы
Предложенный метод сопоставления дисперсионных кривых для оболочки со сжимаемой жидкостью, с несжимаемой жидкостью и для абсолютно жесткого волновода со сжимаемой жидкостью позволяет успешно определять, какие волны имеют преимущественно структурный, а какие преимущественно жидкостный механизм распространения.