Многие электротехнические устройства, работающие в переходном режиме, имеют такие массивные проводники как токоподводящие шины, электромагнитные экраны, обрабатываемые электромагнитным давлением металлические детали, роторы и обмотки электромашинных генераторов. При исследовании таких устройств возникает необходимость расчета диффузии (проникновения) электромагнитного поля в массивные проводники. для решения уравнений электромагнитного поля в переходном режиме могут быть использованы операторный метод и интеграл Дюамеля [7, 8] с целью определения магнитной напряженности и плотности тока в поверхностном слое (скин-слое) массивных проводников. На основании найденных магнитной напряженности и плотности тока рассчитываются такие усредненные во времени параметры скин-слоя как толщина скин-слоя, активное сопротивление и внутренняя индуктивность, максимальное давление электромагнитного поля на проводник. Применение усредненных во времени параметров скин-слоя значительно упрощает расчет, исследование и оптимизацию электротехнических устройств с массивными проводниками [3–6, 9]. Однако частотный метод вычисления параметров скин-слоя требует большого объема автоматизированных расчетов при больших затратах времени [4].
Поэтому разработка методики расчета диффузии электромагнитного поля операторным методом и интегралом Дюамеля для определения параметров скин-слоя массивных проводников с целью сокращения объема и времени расчетов представляется актуальной задачей.
Допущения
Для получения расчетных формул сделаем следующие допущения.
1. Скин-слой проводника характеризуется постоянными величинами магнитной проницаемости µ (Гн/м) и удельной проводимости γ (1/Ом·м).
2. Размеры массивных проводников и радиусы кривизны их поверхностей существенно превосходят глубину проникновения в них электромагнитного поля, поэтому будем исходить из представления о плоской одномерной электромагнитной волне, проникающей в проводник как в проводящее полупространство перпендикулярно его поверхности и полностью затухающей в его теле [3, 9].
3. Электромагнитное поле задается магнитной напряженностью на поверхности проводника HS(t).
4. Электромагнитное поле в проводнике имеет нулевые начальные условия, т.е. при времени t=0 поле в проводнике полностью отсутствует даже если 
.
Методика расчета
Совместим внешнюю поверхность проводника как поверхность проводящего полупространства с плоскостью x0y в декартовой системе координат (рис. 1), так что для плоской одномерной электромагнитной волны векторы напряженностей электрического 
и магнитного 
полей имеют по одной составляющей, зависящих от координаты z и времени t [3, 9]:
; 
,
где 
– единичные векторы, направленные по осям x и y соответственно.
Рис. 1. Проводящее полупространство: 
– магнитная напряженность на поверхности проводника
В этом случае процесс проникновения электромагнитного поля в проводник описывается следующим уравнением [3, 9]
(1)
при плотности тока
. (2)
Примем, что при 
электромагнитная волна полностью затухает, тогда граничные условия имеют вид:
(3)
Запишем при нулевых начальных условиях
(4)
уравнения (1) и (2) в операторном виде [5, 7]:
(5)
Если на поверхности проводника задана напряженность
(6)
тогда решением уравнений (5) будут операторные изображения напряженности [5, 7]
(7)
и плотности тока
. (8)
Оригиналы (7, 8) будут такими [2, 5]:
; (9)
, (10)
где указан дополнительный интеграл вероятностей:
;
.
Далее если полагать, что на проводник при z=0 и 
воздействует бесконечно малая постоянная напряженность 
, тогда на основании (9, 10) с использованием интеграла Дюамеля [8] можно записать напряженность
(11)
и плотность тока
(12)
где 
– производная напряженности на поверхности проводника при z=0 и 
.
Затем находим усредненную во времени мощность тепловых потерь [3–5, 9]
(13)
и усредненную энергию магнитного поля
, (14)
lx и ly – размеры проводника по осям x и y соответственно (рис. 1).
При среднеквадратичной напряженности на поверхности проводника
(15)
согласно закону полного тока [9] имеем для тока i(t) в проводнике среднеквадратичную функцию времени:
. (16)
При активном сопротивлении
(17)
и внутренней индуктивности проводника
(18)
запишем усредненные во времени мощность тепловых потерь
, (19)
и энергию магнитного поля
, (20)
где 
– усредненные во времени толщины скин-слоя для расчета сопротивления и внутренней индуктивности соответственно.
Из равенства (13, 19) и (14, 20), с учетом (15–18), определяем усредненные во времени толщины скин-слоя для расчета сопротивления и внутренней индуктивности:
;
. (21)
Давление электромагнитного поля на проводник, которое направлено вдоль оси z (рис. 1), найдем следующим образом [3, 4]:
, (22)
причем это давление имеет некоторое максимальное значение sm, которое должно быть меньше допустимого значения sдоп , исходя из механической прочности проводника.
Результаты расчета
При угловой частоте 
радиоимпульса напряженности с синусным заполнением
(23)
при 
(А/м); 
(с) по запрограммированным в среде Mathcad [1] формулам (1–23) проведены расчеты параметров массивного проводника из отожженной меди [10]: 
(Гн/м); 
(См/м); 
(МПа).
Рассчитанные параметры этого проводника приведены в таблице, где также указаны относительные толщины скин-слоя, найденные в [4] и [6] частотным и численным методами. В таблице обозначена для синусоидального электромагнитного поля с угловой частотой w в установившемся режиме эквивалентная глубина проникновения 
, причем во всех случаях максимум давления 
(МПа).
На рис. 2 и 3 при напряженности (23) и m=2 приведены расчетные графики относительных зависимостей магнитной напряженности и плотности тока от координаты 
, где Hm, 
– максимальные значения напряженности и плотности тока.
Параметры скин-слоя массивного медного проводника
|
Расчет |
Из [4] |
Из [6] |
||||||
|
m |
w |
D |
|
|
|
|
|
|
|
– |
1/с |
мм |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
|
0,5 |
157,1 |
14,2 |
1,235 |
0,332 |
1,155 |
0,352 |
1,35 |
0,25 |
|
1 |
314,2 |
10,0 |
1,446 |
0,570 |
1,366 |
0,585 |
1,55 |
0,50 |
|
1,5 |
471,2 |
8,2 |
1,059 |
0,513 |
0,996 |
0,538 |
1,15 |
0,45 |
|
2 |
628,3 |
7,1 |
1,120 |
0,542 |
1,057 |
0,572 |
1,20 |
0,50 |
|
2,5 |
785,4 |
6,4 |
1,034 |
0,499 |
0,971 |
0,529 |
1,07 |
0,50 |
|
3 |
942,5 |
5,8 |
1,094 |
0,53 |
1,032 |
0,553 |
1,05 |
0,50 |
|
3,5 |
1100 |
5,4 |
1,024 |
0,505 |
0,962 |
0,534 |
1,04 |
0,50 |
|
4 |
1257 |
5,0 |
1,061 |
0,523 |
1,001 |
0,553 |
1,03 |
0,50 |
|
4,5 |
1414 |
4,7 |
1,018 |
0,502 |
0,957 |
0,533 |
1,00 |
0,50 |
|
5 |
1571 |
4,5 |
1,052 |
0,519 |
0,994 |
0,544 |
1,00 |
0,50 |
Рис. 2. Расчетные графики относительных зависимостей магнитной напряженности 
от относительной координаты 
для различных моментов времени: 1 – 
; 2 – 
; 3 – 
; 4 – 
Рис. 3. Расчетные графики относительных зависимостей плотности тока 
от относительной координаты 
для различных моментов времени: 1 – 
; 2 – 
; 3 – 
; 4 – 
Заключение
1. Предложена методика определения усредненных во времени параметров скин-слоя массивных проводников при диффузии электромагнитного поля с заданной магнитной напряженностью на поверхности проводника, которая основывается на операторном методе и интеграле Дюамеля, и может использоваться для расчета работающих в переходном режиме токоподводящих шин, электромагнитных экранов, роторов и обмоток электромашинных генераторов, обрабатываемых электромагнитным давлением металлических деталей.
2. Разработанная методика получена на основе уравнений электромагнитного поля, которая может быть запрограммирована, например, в среде Mathcad для инженерного расчета усредненных во времени параметров массивных проводников электротехнических устройств при их автоматизированном проектировании. При этом объем и время вычислений существенно меньше объема и времени расчетов по сравнению с частотным методом.
3. Определяемые толщины скин-слоя, активное сопротивление и внутренняя индуктивность проводника, максимальное давление электромагнитного поля на проводник зависят от амплитуды, длительности и формы импульса магнитной напряженности на поверхности проводника.
4. Достоверность предлагаемой методики подтверждается удовлетворительным совпадением результатов расчета усредненных во времени толщин скин-слоя с результатами, полученными другими авторами.