Выявлению закономерностей движения жидкости в присутствии твердых стенок посвящено значительное число исследований (см., например, [1, 2], а также [3–5], и представленную там литературу).
В данной работе рассматривается гидромеханическая система, состоящая из вязкой несжимаемой жидкости и абсолютно твердых стенок Ξ1, Ξ2. Стенки покоятся относительно инерциальной прямоугольной системы координат XYZ. Стенка Ξ1 ограничена плоскостью Γ1: Y = 0; стенка Ξ2 – плоскостью Γ2: Y = H (H > 0 – постоянная). Жидкость заполняет область Ω: 0 < Y < H. В начальный момент времени t, при t = 0, течение жидкости является симметричным относительно плоскости Y = H / 2; жидкость движется со скоростью V0 = {V0(Y), 0, 0} (V0(Y) = V0(H – Y); V0 = 0 на Γ1, Γ2).
Цель данной работы состоит в определении скорости жидкости V = {V(Y, t), 0, 0}, а также силового взаимодействия жидкости и стенок, средней скорости жидкости, массопереноса жидкости – при t > 0.
Общая задача
Пусть y = Y / H; 
,
если 
, 
sup│V0│, если 
; τ = 
t / H; v0 = V0/
; v = V/
;
ν – кинематический коэффициент вязкости жидкости; Re = H 
– число Рейнольдса.
Уравнение Навье – Стокса и условия, которые должны выполняться на границах стенок и в начальный момент времени, имеют следующий вид:
; (1)
v = 0 при y = 0; (2)
v = 0 при y = 1; (3)
v = v0 при τ = 0. (4)
Отметим, что при t > 0 какие-либо воздействия на жидкость, поддерживающие ее движение, отсутствуют.
Наряду с задачей (1)–(4) будем рассматривать также вспомогательную задачу
; (5)
w = 0 при y = 0; (6)
w = 0 при y = 2; (7)
w = w0 при τ = 0. (8)
Здесь w0 – периодическая с периодом 2 функция y, которая при 0 ≤ y ≤ 2 определяется формулой
(9)
Обратимся к задаче (5)–(7). Применяя метод разделения переменных, найдем, что уравнение (5) имеет последовательность решений
(10)
каждое из которых удовлетворяет условиям (6), (7). Используя (10), построим следующее решение задачи (5)–(7):
(11)
где cm (m = 1, 2, …) – постоянные.
Рассмотрим условие (8). Представим w0(y) в виде ряда Фурье. С учетом (9) и соотношения
v0(y) = v0(1 – y) (12)
получим
(13)
Здесь
Используя (11), (13) и формулу
найдем
cm = 
(m = 1, 2, … ; n = 1, 2, …). (14)
Из (11), (14) следует, что w (решение задачи (5) – (8)) удовлетворяет условию
w = 0 при y = 1. (15)
Таким образом, согласно (1)–(9), (11), (14), (15) задача (1)–(4) имеет решение
(16)
Формулой (16), в частности, демонстрируется, что изучаемое течение жидкости является затухающим.
Пусть ρ – плотность жидкости; γ1 – площадка площадью Sγ, принадлежащая плоскости Γ1; γ2 – площадка площадью Sγ, принадлежащая плоскости Γ2; Flw1 = {Flw1, 0, 0} – тангенциальная сила, действующая со стороны жидкости на часть ξ1 стенки Ξ1, граничащую с жидкостью на площадке γ1 
Fwl1 = {Fwl1, 0, 0} – тангенциальная сила, действующая со стороны части ξ1 стенки Ξ1 на жидкость; Flw2 = {Flw2, 0, 0} – тангенциальная сила, действующая со стороны жидкости на часть ξ2 стенки Ξ2, граничащую с жидкостью на площадке γ2 
; Fwl2 = {Fwl2, 0, 0} – тангенциальная сила, действующая со стороны части ξ2 стенки Ξ2 на жидкость; flwk = HFlwk / (ρ
,
fwlk = HFwlk / (ρ
(k = 1, 2); σ – площадка: X = X*, 0 ≤ Y ≤ H , – Z*/2 ≤ Z ≤ Z*/2 (X*, Z* > 0 – постоянные); Sσ = H Z*;
(17)
– среднее значение скорости V по координате Y; 
Используя (16), (17), получим
(18)
(fwl1 = – flw1, fwl2 = – flw2);
(19)
Формулой (18) определяется силовое взаимодействие жидкости и стенок (вопрос о нормальном силовом взаимодействии жидкости и стенок является тривиальным).
Движение жидкости сопровождается переносом ее массы. Мерой происходящего массопереноса может служить остаточная масса жидкости
(20)
– масса жидкости, которая протекает через площадку σ из области X < X* в область X > X* за промежуток времени 0÷t (eX = {1, 0, 0}) . Используя (17), (19), (20), найдем
(21)
Из (16), (18), (19), (21) следуют асимптотические формулы, характеризующие рассматриваемую гидромеханическую систему на больших временах
при τ → ∞; (22)
при τ → ∞; (23)
при τ → ∞; (24)
при τ → ∞. (25)
Здесь
(26)
– полная остаточная масса жидкости (предел Μ при t → ∞). Отметим, что ряд в (26) является абсолютно сходящимся (данный ряд мажорируется сходящимся рядом 
.
Первая частная задача
Пусть жидкость совершает движение со скоростью U = {U, 0, 0}, не изменяющейся со временем; задача о течении жидкости имеет вид
(27)
U = 0 при Y = 0; (28)
U = 0 при Y = H. (29)
Здесь η = – (1/ρ) ∂P /∂X – постоянная (P – давление в жидкости; без умаления общности может быть принято, что η > 0). Использование (27)–(29) приводит к формуле
(30)
Положим
V0 = U. (31)
Отметим, что
удовлетворяет соотношению (12).
Выполнение (31) соответствует тому, что задачей (1)–(4), определяемым ею течением жидкости моделируется происходящее при t > 0 остаточное, не поддерживаемое силовыми воздействиями затухающее течение вязкой жидкости, совершающей при t ≤ 0 движение с не изменяющейся со временем скоростью
С учетом (16), (17), (19)–(21), (26), (30), (31) для данного (моделирующего) течения жидкости, в частности, имеем
Здесь
, 
Вторая частная задача
Пусть жидкость совершает движение со скоростью U2 = {U2, 0, 0}, периодически изменяющейся со временем; задача о течении жидкости имеет вид
(32)
U = 0 при Y = 0; (33)
U = 0 при Y = H. (34)
Здесь η = ξ [1 + sin(2πt / T + φ)] (ξ, T > 0. 0 ≤ φ < 2π – постоянные; без умаления общности может быть принято, что ξ > 0). Использование (32)–(34) приводит к формуле
(35)
где χ = {sh[(1 + i)ϰY] + sh[(1 + i)ϰ(H – Y)] – sh[(1 + i)ϰH]} / sh[(1 + i)ϰH]; 
Положим
(36)
Отметим, что
удовлетворяет соотношению (12) .
Выполнение (36) соответствует тому, что задачей (1) – (4), определяемым ею течением жидкости моделируется происходящее при t > 0 остаточное, не поддерживаемое силовыми воздействиями затухающее течение вязкой жидкости, совершающей при t ≤ 0 движение с периодически изменяющейся со временем скоростью
С учетом (16), (17), (19)–(21), (26), (35), (36) для данного (моделирующего) течения жидкости, в частности, имеем
Здесь
(λ2n – 1 = 2H2 / [(2n – 1)2πνT]; 0 < φ2n – 1 < π /2 (n = 1, 2, …) – углы, удовлетворяющие соотношениям 
Заключение
Исследованное течение жидкости является аналогом пространственного течения вязкой жидкости в бесконечно длинной круговой цилиндрической трубе. В моменты времени, следующие за начальным, жидкость не испытывает каких-либо силовых воздействий, поддерживающих ее движение. Ввиду этого представляют очевидный интерес, могут быть отмечены постановка вопроса об остаточной массе жидкости, установление зависимости этой величины от времени и параметров гидромеханической системы, определение полной остаточной массы жидкости – важной характеристики рассмотренной гидромеханической системы. Полученные результаты могут найти применение при разработке новых приборов, устройств, содержащих жидкости, могут использоваться при изучении проблем биологии, медицины, связанных с движением жидких сред, в частности проблем патологии и нормы крово-
обращения [6].