Метод решения двумерной плоской нестационарной динамической задачи теории упругости
В работах [1–10] приведена информация о применении вычислительной механики для моделирования волн напряжений в твердых деформируемых телах с помощью разработанного численного метода, алгоритма и комплекса программ.
Динамическую задачу теории упругости решаем с помощью метода конечных элементов в перемещениях. Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений. Задача решается методом сквозного счета, без выделения разрывов.
Принимая во внимание определение матриц и векторов для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
, 
, (1)
где 
– матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор узловых упругих внешних сил.
Для интегрирования уравнения движения (1) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду
, 
. (2)
Интегрируя по временной координате соотношение (2) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
. (3)
где ∆t – шаг по временной координате.
Система уравнений (1) для внутренних и граничных узловых точек, полученная в результате интегрирования уравнения движения теории упругости, должна давать решение, сходящееся к решению исходной системы.
Шаг по временной переменной ∆t определяем из следующего соотношения
, (4)
где ∆l – длина стороны конечного элемента.
Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементной линейной схемы.
Некоторая информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведена в следующих работах [1, 3–6].
Решение задачи о сосредоточенном вертикальном упругом воздействии в виде функции Хевисайда
В упругой полуплоскости от сосредоточенного воздействия распространяются продольные, поперечные, рэлеевские и конические волны. Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной волны в виде функции Хевисайда (рис. 2) перпендикулярной свободной поверхности упругой полуплоскости (рис. 1). В точке B перпендикулярно свободной поверхности АВС приложено упругое нормальное напряжение σy (рис. 1), которое при 0 ≤ n ≤ 10 (n = t/∆t) изменяется 0 до P, а при n ≥ 10 равно P (P = σ0, σ0 – 0,1 МПа).
Граничные условия для контура CDEA при t > 0 
. Отраженные волны от контура CDEA не доходят до исследуемых точек при 0 ≤ n ≤ 500. Контур ABC свободен от нагрузок, кроме точки B, где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжение σy.
Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = ∆x = ∆y; ∆t = 1,393×10-6 с; E = 3,15×104 МПа; v = 0,2; ρ = 0,255×104 кг/м3; Ср = 3587 м/с; Сs = 2269 м/с. Решается система уравнений из 48032004 неизвестных. На рис. 3–8 показано изменение упругого контурного напряжения 
(
) во времени n в точках A1–A6 (рис. 1), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости.
Рис. 1. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной волны в виде функции Хевисайда на свободной поверхности упругой полуплоскости
Рис. 2. Воздействие в виде функции Хевисайда
Рис. 3. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/∆t в точке A1
Рис. 4. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/∆t в точке A2
Рис. 5. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/∆t в точке A3
Рис. 6. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/∆t в точке A4
Рис. 7. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/∆t в точке A5
Рис. 8. Изменение упругого контурного напряжения 
во времени t/∆t в точке A6
Амплитуда поверхностных волн Релея существенно больше амплитуд продольных, поперечных и других волн при воздействии вертикального сосредоточенного воздействия в виде функции Хевисайда на поверхности упругой полуплоскости.