При изучении качественных свойств решений дифференциальных уравнений на группах Ли, часто возникает необходимость рассмотреть семейства операторов вида
,
где 
. Если функции 
удовлетворяют ряду свойств, то в совокупности операторов 
можно задать операцию коммутирования
,
которая вводит в совокупности структуру конечномерной алгебры Ли 
. Рассматривается случай, когда функции 
представляют собой многочлены переменных 
, 
степени не выше второй. Операторы имеют вид
+
,
где 
, 
– константы. Из предположения, что операторы 
соответствуют базисным элементам трехмерной алгебры g, и с учетом стандартного соотношения 
определим трехмерную алгебру Ли дифференциальных операторов указанного вида с базисными операторами:
, 
, 
.
Можно проверить, что при любом значении коэффициента 
определено семейство алгебр Ли с коммутационными соотношениями:
, 
, 
.