Scientific journal
International Journal of Applied and fundamental research
ISSN 1996-3955
ИФ РИНЦ = 0,593

SECOND CLASS OF EXACTLY SOLVABLE TASKS QANTUM MECAHANICS STATIONARY SCHRODINGER EUQATION

Grishkan Yu.S. 1
1 Southern Federal University
1583 KB
It is shown how to find some exact solutions of Schrodinger equation with some type of conformal symmetry. To find these solutions, it may be used an attached Riccati equation. It is selected the II class of its solutions. The exact solutions for II class is find. In particular, it is find solutions for linear harmonic oscillator with rotation term and Coulomb potential with centrifugal force.
group methods
classes of exact solutions
Schrodinger equation

Поиск точных решений стационарного уравнения Шрёдингера является пограничной областью между физикой и математикой. Как правило, физикам известен очень ограниченный набор таких решений. Однако, такие решения могут быть найдены для многих систем электромагнитного и сильного взаимодействий, таких как молекулы, атомы и кварконии. Для поиска этих решений выделим несколько классов потенциалов, обладающих конформной симметрией, и найдём решения для этих классов. Затем, приспособим найденные решения к конкретным 2-х и 3-х параметрическим потенциалам квантовых систем, хорошо известных в физике электромагнитного и сильного взаимодействий.

Как известно [1], уравнение Шрёдингера в координатном представлении

grih01.wmf (1)

после введения цепочки лестничных пары лестничных операторов

grih02.wmf

сводится к нелинейному операторному уравнению Риккати для операторной функции grih03.wmf в координатном представлении:

grih04.wmf. (2)

Цепочка операторов grih05.wmf образует спектр оператора Гамильтона

grih06.wmf.

Для простоты, не будем писать шляп над операторами.

Цепочка операторов grih07.wmf факторизуется

grih08.wmf.

Для нахождения спектра En рассмотрим одномерное и радиально-симметричное движение fn = fn(q).

Сведём радиально – симметричное движение к одномерному. Это делается с помощью перехода безразмерной координате grih09.wmf [2]. В полный потенциал U(ρ) необходимо добавить центробежный член

grih10.wmf.

Несложно показать, что радиальная часть волновой функции нормирована на единицу

grih11.wmf,

grih12.wmf, grih13.wmf.

Обозначив ρ = q, введём класс II точно решаемых задач для потенциалов

grih14.wmf, (3)

где grih15.wmf, Q = Q(x) – некоторая функциональная форма, которую необходимо задать.

Будем искать точное решение уравнения (2) в виде

grih16.wmf,

grih17.wmf, (4)

αn, βn – цепочки функций, подлежащих определению, a, c – известные константы.

Поставленная задача требует нахождения цепочек αn, βn, En, в виде функций констант A0, B0, U0, a, c.

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях Q в уравнениях (3)-(4), получим следующие уравнения для неизвестных α0, β0, E0:

grih18.wmf

grih19.wmf

grih20.wmf (5)

Операторы цепочки grih21.wmf находятся по рекуррентной формуле

grih22.wmf (6)

Построим первый оператор цепочки (2)

grih23.wmf.

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях Q, построим систему уравнений для коэффициентов, подлежащих определению.

grih24.wmf

grih25.wmf

grih26.wmf (7)

где

grih27.wmf grih28.wmf

grih29.wmf

Для уравнений цепочки с индексом n получим

grih30.wmf

grih31.wmf

grih32.wmf (8)

Из (8) следуют тогда решения

grih33.wmf, (9)

где

grih34.wmf

grih35.wmf (10)

grih36.wmf

Решение уравнений (8), (9) даёт

grih37.wmf (11)

где знак grih38.wmf устанавливается с учётом условий максимальности уровней энергии при факторизации,

grih39.wmf. (12)

Также из (8), (9) следует

grih40.wmf (13)

grih41.wmf, (14)

где

grih42.wmf (15)

Единый спектр существует при условиях на знаки

grih43.wmf (16)

Теперь можно получить решения для αn, βn выражения

grih44.wmf (17)

grih45.wmf (18)

С помощью (11), (14) получаем аналогичные выражения для сумм этих коэффициентов

grih46.wmf (19)

grih47.wmf (20)

После подстановки (19), (20) в (9) получим окончательное выражение для спектра системы

grih48a.wmf

grih48b.wmf

grih48c.wmf. (21)

Рассмотрим две квантовые системы, относящиеся к классу II.

II-1. Кулоновский центробежный потенциал [2]

Пусть

m = 1, A0 = A0, B0 = B0, a = 0, c = 1. (22)

Тогда

Q = ρ. grih49.wmf. (23)

Этот потенциал изображён на рисунке при A0 = 5, B0 = 5, l = 0.

grihkan1.tif

Кулоновский центробежный потенциал при А0ρ = B0ρ = 5, l = 0

Перейдём от безразмерных единиц расстояния ρ к физическим. Тогда

grih50.wmf grih51.wmf.

grih52a.wmf

grih52b.wmf. (24)

Спектр потенциала имеет вид

grih53.wmf. (25)

Последнее выражение совпадает с приведённым в [2] результатом.

II-1-1. Пусть

m = 1, grih54.wmf grih55.wmf,

a = 0, c = 1. (26)

Тогда Q = r,

grih56.wmf. (27)

Спектр этого потенциала имеет вид

grih57.wmf. (28)

В теории линейного гармонического осциллятора величина n формулы (28) называется «радиальное квантовое число» обозначается nr [3] .Перепишем (28) через nr.

Главное квантовое число, пространственного осциллятора N = 2nr + l.

Спектр энергии

Пространственного осциллятора принимает тогда вид

grih58.wmf, (29)

что совпадает с результатами, полученными в [2], [3].

Заключение

Классы точных решений I, II содержит более 20 точно решаемых потенциалов. Причём не для всех этих потенциалов в литературе по квантовой механике известны точные решения. Хорошим примером является потенциал Вудса – Саксона, который описывает уровни энергии нейтрона в ядре атома [3]. Этот потенциал принадлежит к классу I [4]. Потенциалы, входящие в оба класса точно решаемых задач, описывают электромагнитное взаимодействие на атомно – молекулярном уровне и сильное взаимодействие на ядерном и кварковом уровне. С помощью описанного в статье метода могут быть найдены пока ещё неизвестные точные решения и для других потенциалов, входящих в классы I, II.