Для решения двумерной нестационарной динамической задачи математической теории упругости с начальными и граничными условиями используем метод конечных элементов в перемещениях.
Некоторая информация о моделировании нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых областях с помощью рассматриваемого численного метода приведена в следующих работах [1–10].
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
, 
,
, (1)
где 
– диагональная матрица инерции; 
– матрица жесткости; 
– вектор узловых упругих перемещений; 
– вектор узловых упругих скоростей перемещений; 
– вектор узловых упругих ускорений; 
– вектор внешних узловых упругих сил.
Интегрируя уравнения (1) конечноэлементным вариантом метода Галеркина, получим явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
,
. (2)
Рис. 1. Постановка задачи о распространении нестационарных упругих волн в пластинке (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Шаг по временной переменной координате Δt выбирается из следующего соотношения
, (3)
где Δl – длина стороны конечного элемента.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработана методика, разработан алгоритм и составлен комплекс программ для решения двумерных линейных и нелинейных задач при различных начальных и граничных условиях, для областей сложной формы. Комплексы программ написаны на алгоритмическом языке Фортран-90.
В работах [2–5, 7, 9–10] приведена информация о физической достоверности и математической точности применяемого численного метода, алгоритма и комплекса программ.
Рассмотрим задачу о вертикальном сосредоточенном упругом ударном воздействии (рис. 2) на пластинку (соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум) (рис. 1).
Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм-сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3.
В точке B приложено нормальное воздействие σy, которое при 0 ≤ n ≤ 10 (
) изменяется линейно от 0 до P, при 11 ≤ n ≤ 30 равно P и при 31 ≤ n ≤ 40 от P до 0 (P = σ0, σ0 = – 0,098 МПа (– 1 кгс/см2)). Принято следующее допущение: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа.
Граничные условия для контуров CD и EA при t > 0 
. Отраженные волны от контуров CD и EA не доходят до исследуемых точек при 
. Контуры CB, BA и DE свободны от нагрузок, кроме точки B, где приложено воздействие.
Рис. 2. Ударное воздействие в задаче о распространении нестационарных упругих волн в пластинке (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Рис. 3. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B1 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Рис. 4. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B2 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Рис. 5. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B3 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Рис. 6. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B4 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Расчеты проведены при следующих исходных данных: 
; Δt = 9,263× ×10-7 с; E = 6,958×10 4 МПа (7,1×10 5 кгс/см2); ν = 0,34; ρ = 2,7×103 кг/м3 (2,755×10-6 кгс с2/см4); Cp = 5398 м/с; Cs = 3078 м/с. Приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ≈ 0,098 МПа; 1 кгс с2/см4 ≈ 0,98×109 кг/м3.
Рис. 7. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B5 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Рис. 8. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B6 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Рис. 9. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B7 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Рис. 10. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B8 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Рис. 11. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B9 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Рис. 12. Изменение упругого нормального напряжения 
во времени t/Δt в точке B10 (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум)
Исследуемая расчетная область имеет 22011 узловых точек. Решается система уравнений из 88044 неизвестных.
На рис. 3–12 представлено изменение упругого нормального напряжения 
(
) во времени n в точках B1–B10 пластинки (рис. 1).
Выводы
1. Для прогноза безопасности несущих конструкций технических систем при упругом нестационарном ударном воздействии применяется численное моделирование. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при воздействии упругой ударной волны на несущую конструкцию технических систем. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов.
2. Исследуемая область по пространственным переменным разбивается на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений. За основные неизвестные в узле конечного элемента приняты два перемещения и две скорости перемещений.
3. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Задача с начальными условиями с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина приведена к явной двухслойной схеме.
4. Решена задача о распространении нестационарных упругих волн в пластинке (воздействие – сосредоточенное; соотношение толщины пластинки к длине волны воздействия – один к двум). Исследуемая расчетная область имеет 22011 узловых точек. Решается система уравнений из 88044 неизвестных. Растягивающее упругое нормальное напряжение 
имеет следующее максимальное значение 
. Сжимающее упругое нормальное напряжение 
имеет следующее максимальное значение 
.
5. Полученные результаты можно оценить как первое приближение к решению сложной комплексной задачи о нестационарном упругом ударном воздействии на несущую конструкцию технических систем, с помощью численного моделирования волновых уравнений теории упругости.